Àlgebra de Lie simple

En àlgebra, una àlgebra de Lie simple és una àlgebra de Lie que no és abeliana i no conté ideals propis diferents de zero. La classificació d'àlgebres de Lie simples reals és un dels principals assoliments de Wilhelm Killing i Élie Cartan.^[1]

Una suma directa d'àlgebres de Lie simples s'anomena àlgebra de Lie semisimple.^[2]

Un grup de Lie simple és un grup de Lie connectat l'àlgebra de Lie del qual és simple.

Una àlgebra de Lie complexa simple de dimensions finites és isomòrfica a qualsevol dels següents: ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$, ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{n}\mathbb {C} }$, ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}\mathbb {C} }$ (àlgebres clàssiques de Lie) o una de les cinc àlgebres de Lie excepcionals. A cada complex de dimensions finites semisimple àlgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, existeix un diagrama corresponent (anomenat diagrama de Dynkin ) on els nodes denoten les arrels simples, els nodes estan units (o no s'uneixen) per un nombre de línies depenent dels angles entre les arrels simples i les fletxes es posen per indicar si les arrels són més llargues o més curtes. El diagrama de Dynkin de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ està connectat si i només si ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ és senzill. Tots els possibles diagrames de Dynkin connectats són els següents:

on n és el nombre de nodes (les arrels simples). La correspondència dels diagrames i àlgebres simples complexes de Lie és la següent:

(A_n) ${\displaystyle \quad {\mathfrak {sl}}_{n+1}\mathbb {C} }$

(B_n) ${\displaystyle \quad {\mathfrak {so}}_{2n+1}\mathbb {C} }$

(C_n) ${\displaystyle \quad {\mathfrak {sp}}_{2n}\mathbb {C} }$

(D_n) ${\displaystyle \quad {\mathfrak {so}}_{2n}\mathbb {C} }$

La resta, àlgebres de Lie excepcionals.^[3]

Si ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ és una àlgebra de Lie simple real de dimensions finites, la seva complexació és (1) simple o (2) un producte d'una àlgebra de Lie complexa simple i el seu conjugat. Per exemple, la complexitat de ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$ pensat com una autèntica àlgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} \times {\overline {{\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }}}$. Així, una àlgebra de Lie simple real es pot classificar mitjançant la classificació d'àlgebres de Lie simples complexes i alguna informació addicional. Això es pot fer mitjançant diagrames Satake que generalitzen els diagrames de Dynkin. Vegeu també Taula de grups de Lie # àlgebres de Lie reals per obtenir una llista parcial d'àlgebres de Lie simples reals.^[4]