Constant d'Embree-Trefethen

En matemàtiques, i en particular en teoria dels nombres, la costant d'Embree-Trefethen és un valor llindar d'una successió particular definida per recurrència i s'indica amb una β* ≈ 0.70258.[1]

Més precisament, donat el nombre real β, es considera la successió recurrent

x n + 1 = x n ± β x n − 1 {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}\pm \beta x_{n-1}\,}

on es tria el signe de la suma a l'atzar per a cada n independentment i amb probabilitat igual per "+" que per "-". Això és una generalització de la sèrie aleatòria de Fibonacci amb valors de β ≠ 1.

Es pot demostrar que per tot valor de β, el límit

σ ( β ) = lim n → ∞ ( | x n | 1 / n ) {\displaystyle \sigma (\beta )=\lim _{n\to \infty }(|x_{n}|^{1/n})\,}

existeix quasi segurament. Informalment, la successió es comporta exponencialment amb probabilitat 1, i σ(β) pot ser interpretat com la seva taxa de creixement exponencial.

Es defineix β* ≈ 0.70258 com el valor llindar pel qual:

σ(β) < 1 for 0 < β < β* ,

per tant la solució d'aquesta successió recurrent decau exponencialment a mesura que n → ∞ amb probabilitat 1, i

σ(β) > 1 for β > β* ,

llavors, les solucions creixen exponencialment.

Considerant els valors de σ, es té:

  • σ(1) = 1.13198824... (constant de Viswanath), i
  • σ(β*) = 1 (per definició).

Referències

  1. ↑ Embree, M.; Trefethen, L. N. «Growth and decay of random Fibonacci sequences». Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 455, 1987, 1999, pàg. 2471. Bibcode: 1999RSPSA.455.2471T. DOI: 10.1098/rspa.1999.0412.

Enllaços externs

  • Weisstein, Eric W., «Random Fibonacci Sequence» a MathWorld (en anglès).