Cota superior asimptòtica
![]() | Aquest article o secció necessita millorar una traducció deficient. Podeu col·laborar-hi si coneixeu prou la llengua d'origen. També podeu iniciar un fil de discussió per consultar com es pot millorar. Elimineu aquest avís si creieu que està solucionat raonablement. |
En anàlisi d'algorismes una cota superior asimptòtica és una funció que serveix de cota superior d'una altra funció quan l'argument tendeix a infinit. Usualment s'utilitza la notació de Landau: O(g(x)), per referir-se a les funcions acotades superiorment per la funció g(x). Més formalment es defineix:
Una funció f(x) pertany a O(g(x)) quan hi ha una constant positiva c tal que a partir d'un valor , no supera cg(x). Vol dir que la funció f és inferior a g a partir d'un valor donat excepte per un factor constant.
La cota superior asimptòtica té utilitat en Teoria de la complexitat computacional quan es defininen les classes de complexitat.
Tot i que O(g(x)) està definit com un conjunt, s'acostuma a escriure f(x)= O(g(x)) en lloc de f(x)∈ O(g(x)). Moltes vegades també es parla d'una funció nomenant únicament la seva expressió, com en x² en lloc de h(x)=x², sempre que estigui clar quin és el paràmetre de la funció dins de l'expressió. En la gràfica es dona un exemple esquemàtic de com es comporta pel que fa a f(x) quan x tendeix a infinit. Cal notar a més que aquest conjunt és no buit doncs g(x)=O(g(x)).
La cota ajustada asimptòtica (notació Θ) té relació amb les cotes asimptòtiques superior (notació O) i inferior:
Propietats
Sigui , siguin , , , funcions i un real. És compleixen els següents enunciats:
- i) Si y , llavors
- ii) Si y , llavors
- iii) (igualtat entre conjunts)
- iv) Si y , llavors
- v) Si llavors (igualtat entre conjunts)
- vi) Si , llavors .
Exemples
- La funció f(x) = x + 10 pot ser fitada superiorment per la funció g(x) = x². Per demostrar-ho és prou notar que per a tot valor de x≥3.7016 es compleix x+10 ≤ x². Per tant x+10 = O(x²). Però x² no serveix com a cota inferior per x+10, és a dir .
- La funció 200x està fitada superiorment per x². Vol dir que quan x tendeix a infinit el valor de 200x es pot menysprear comparat amb el de x².
Ordres usuals per a funcions
Els ordres més utilitzats en anàlisi d'algorismes, en ordre creixent, són els següents (on c representa una constant i n la mida de l'entrada):
notació | nom |
---|---|
O(1) | ordre constant |
O(log log n) | ordre sublogarítmic |
O(log n) | ordre logarítmic |
O() | ordre sublineal |
O(n) | ordre lineal o de primer ordre |
O(n · log n) | ordre lineal logarítmic |
O(n²) | ordre quadràtic o de segon ordre |
O(n3), ... | ordre cúbic o de tercer ordre, ... |
O(nc) | ordre potencial fix |
O(cn), n > 1 | ordre exponencial |
O(n!) | ordre factorial |
O(nn) | ordre potencial exponencial |
Vegeu també
Bibliografia
- Introduction to Algorithms, Second Edition by Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein