Desigualtat de Turán

En matemàtiques, les desigualtats de Turán són algunes desigualtats per als polinomis de Legendre trobats per Turán (1950)[1] (i publicats per primera vegada per Szegö (1948).[2]

Si Pn és el n-èsim polinomi de Legendre, les desigualtats de Turán són:

P n ( x ) 2 > P n − 1 ( x ) P n + 1 ( x )  per a  − 1 < x < 1. {\displaystyle \,\!P_{n}(x)^{2}>P_{n-1}(x)P_{n+1}(x){\text{ per a }}-1<x<1.}

Hi ha moltes generalitzacions a altres polinomis, sovint anomenades desigualtats de Turán, donats per Beckenbach i Seidel (1951).[3]

Si Hn és el n-èsim polinomi d'Hermite, les desigualtats de Turán són:

H n ( x ) 2 − H n − 1 ( x ) H n + 1 ( x ) = ( n − 1 ) ! ⋅ ∑ i = 0 n − 1 2 n − i i ! H i ( x ) 2 > 0   , {\displaystyle H_{n}(x)^{2}-H_{n-1}(x)H_{n+1}(x)=(n-1)!\cdot \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}H_{i}(x)^{2}>0~,}

Si Tn és el n-èsim polinomi de Txebixov, les desigualtats de Turán són:

T n ( x ) 2 − T n − 1 ( x ) T n + 1 ( x ) = 1 − x 2 > 0  per a  − 1 < x < 1   . {\displaystyle T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)T_{n+1}(x)=1-x^{2}>0{\text{ per a }}-1<x<1~.}

Referències

  1. ↑ Turán, Paul «On the zeros of the polynomials of Legendre». Časopis Pěst. Mat. Fys., 75, 1950, pàg. 113–122.
  2. ↑ Szegö, G. «On an inequality of P. Turán concerning Legendre polynomials». Bull. Amer. Math. Soc., 54(4), 1948, pàg. 401–405. DOI: 10.1090/S0002-9904-1948-09017-6.
  3. ↑ Beckenbach, E. F.; Seidel, W.; Szász, Otto «Recurrent determinants of Legendre and of ultraspherical polynomials» (en anglès). Duke Math. J., 18, 1951, pàg. 1–10. DOI: 10.1215/S0012-7094-51-01801-7.

Vegeu també

  • Desigualtat d'Askey-Gasper
  • Teorema de Sturm