Distribució d'Irwin-Hall

Distribució d'Irwin-Hall

Funció de distribució de probabilitat
Tipus	distribució de probabilitat contínua i distribució de probabilitat simètrica
Mathworld	UniformSumDistribution

En probabilitat i estadística, la distribució d'Irwin-Hall, anomenada així en honor a Joseph Oscar Irwin i Philip Hall, és una distribució de probabilitat per a una variable aleatòria definida com la suma d'un nombre de variables aleatòries independents, cadascuna amb una distribució uniforme. Per aquest motiu també es coneix com a distribució de suma uniforme.^[1]

La generació de nombres pseudoaleatoris que tenen una distribució aproximadament normal s'aconsegueix de vegades calculant la suma d'un nombre de nombres pseudoaleatoris que tenen una distribució uniforme; generalment per la simplicitat de la programació. Reescalar la distribució Irwin-Hall proporciona la distribució exacta de les variables aleatòries que es generen.^[2]

Aquesta distribució de vegades es confon amb la distribució de Bates, que és la mitjana (no la suma ) de n variables aleatòries independents distribuïdes uniformement de 0 a 1.

The Irwin–Hall distribution is the continuous probability distribution for the sum of n independent and identically distributed U(0,1) random variables: ^[4]

${\displaystyle X=\sum _{k=1}^{n}U_{k}.}$

La funció de densitat de probabilitat (pdf) per ${\displaystyle 0\leq x\leq n}$ està donat per

${\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x-k)_{+}^{n-1}}$

on ${\displaystyle (x-k)_{+}}$ denota la part positiva de l'expressió:

${\displaystyle (x-k)_{+}={\begin{cases}x-k&x-k\geq 0\\0&x-k<0.\end{cases}}}$

Així, el pdf és una spline (funció polinòmica a trossos) de grau n − 1 sobre els nusos 0, 1, ..., n . De fet, per a x entre els nusos situats a k i k + 1, el pdf és igual a

${\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{j=0}^{n-1}a_{j}(k,n)x^{j}}$