Distribució de Dirichlet variada matricial

Distribució de Dirichlet variada matricial

Tipus	distribució matricial

En estadística, la distribució de Dirichlet variada matricial és una generalització de la distribució beta variable de matriu i de la distribució de Dirichlet.^[1]

Suposem ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{r}}$ són ${\displaystyle p\times p}$ matrius definides positives amb ${\displaystyle I_{p}-\sum _{i=1}^{r}U_{i}}$ també positiu-definit, on ${\displaystyle I_{p}}$ és el ${\displaystyle p\times p}$ matriu d'identitat. Aleshores diem que el ${\displaystyle U_{i}}$ tenen una distribució de Dirichlet variable en matriu, ${\displaystyle \left(U_{1},\ldots ,U_{r}\right)\sim D_{p}\left(a_{1},\ldots ,a_{r};a_{r+1}\right)}$, si la seva funció de densitat de probabilitat conjunta és ^[2]

${\displaystyle \left\{\beta _{p}\left(a_{1},\ldots ,a_{r},a_{r+1}\right)\right\}^{-1}\prod _{i=1}^{r}\det \left(U_{i}\right)^{a_{i}-(p+1)/2}\det \left(I_{p}-\sum _{i=1}^{r}U_{i}\right)^{a_{r+1}-(p+1)/2}}$

on ${\displaystyle a_{i}>(p-1)/2,i=1,\ldots ,r+1}$ i ${\displaystyle \beta _{p}\left(\cdots \right)}$ és la funció beta multivariant.^[3]

Si escrivim ${\displaystyle U_{r+1}=I_{p}-\sum _{i=1}^{r}U_{i}}$ aleshores el PDF pren la forma més senzilla

${\displaystyle \left\{\beta _{p}\left(a_{1},\ldots ,a_{r+1}\right)\right\}^{-1}\prod _{i=1}^{r+1}\det \left(U_{i}\right)^{a_{i}-(p+1)/2},}$

entenent que ${\displaystyle \sum _{i=1}^{r+1}U_{i}=I_{p}}$ .^[4]