Fórmules de Fresnel

Les equacions de Fresnel (o condicions de Fresnel), deduïdes per Augustin-Jean Fresnel, descriuen el comportament de la llum quan es mou entre medis òptics de diferent índex de refracció. Aquestes fórmules no es poden deduir de l'òptica geomètrica i només s'aconsegueixen a partir de les equacions de Maxwell.

Quan la llum es mou d'un medi amb un índex de reflexió donat, n₁, cap a un segon medi amb índex de refracció n₂, es pot produir tant la reflexió com la refracció de la llum. Les equacions de Fresnel descriuen quina fracció de la llum es reflecteix i quina es refracta. Descriuen a més, el canvi de fase de la llum reflectida.

Les equacions assumeixen que la superfície que separa els dos medis (suposats homogenis) és plana. La ona incident se suposa una ona plana i els efectes de vora es consideren negligibles.

El comportament depèn de la polarització del raig incident. Es distingeixen dos casos:

La llum incident està polaritzada amb el camp elèctric perpendicular al pla que conté els raigs incident, reflectit i refractat. Aquest pla s'anomena pla d'incidència. El terme llum s-polaritzada prové de l'alemany, senkrecht, que vol dir perpendicular.

La llum incident està polaritzada amb el camp elèctric paral·lel al pla d'incidència.

Quan el raig incident es troba amb la superfície de separació dels dos medis d'índexs n₁ i n_2, part del raig es reflecteix i part es refracta (o transmet). Els angles que els raigs incident, reflectit i refractat formen amb la normal es denoten per θ_i, θ_r and θ_t, respectivament.

La relació entre aquests angles ve donada per la llei de la reflexió:

${\displaystyle \theta _{i}=\theta _{r}}$ ,

i la llei de Snell:

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{i}=n_{2}\sin \theta _{t}}$.

La fracció de potència incident que és reflectida ve donada per la reflectància, R, i la fracció que es refractada ve donada per la transmitància, T.

La reflectància pel cas de llum s-polaritzada és

${\displaystyle R_{s}=\left\vert {\frac {Z_{2}\cos \theta _{i}-Z_{1}\cos \theta _{t}}{Z_{2}\cos \theta _{i}+Z_{1}\cos \theta _{t}}}\right\vert ^{2}=\left\vert {\frac {{\sqrt {\frac {\mu _{2}}{\epsilon _{2}}}}\cos \theta _{i}-{\sqrt {\frac {\mu _{1}}{\epsilon _{1}}}}\cos \theta _{t}}{{\sqrt {\frac {\mu _{2}}{\epsilon _{2}}}}\cos \theta _{i}+{\sqrt {\frac {\mu _{1}}{\epsilon _{1}}}}\cos \theta _{t}}}\right\vert ^{2}}$,

mentre que la reflectància pel cas de llum p-polaritzada és

${\displaystyle R_{p}=\left\vert {\frac {Z_{2}\cos \theta _{t}-Z_{2}\cos \theta _{i}}{Z_{2}\cos \theta _{t}+Z_{2}\cos \theta _{i}}}\right\vert ^{2}=\left\vert {\frac {{\sqrt {\frac {\mu _{2}}{\epsilon _{2}}}}\cos \theta _{t}-{\sqrt {\frac {\mu _{1}}{\epsilon _{1}}}}\cos \theta _{t}}{{\sqrt {\frac {\mu _{2}}{\epsilon _{2}}}}\cos \theta _{t}+{\sqrt {\frac {\mu _{1}}{\epsilon _{1}}}}\cos \theta _{i}}}\right\vert ^{2}}$,

on Z₁ i Z₂ denoten les impedàncies del medi 1 i 2 respectivament, μ₁ i μ₂ són les permeabilitats magnètiques dels dos materials i ε₁ i ε₂ són les permitivitats elèctriques dels dos materials.

Per medis no magnètics (és a dir, per aquells materials on es compleix μ₁ ≈ μ₂ ≈ μ₀, on μ₀ és la permeabilitat magnètica del buit) es té,

${\displaystyle Z_{1}={\frac {Z_{0}}{n_{1}}},\qquad Z_{2}={\frac {Z_{0}}{n_{2}}}}$

Aleshores, la reflectància per a llum s-polaritzada esdevé

${\displaystyle R_{s}=\left\vert {\frac {n_{1}\cos \theta _{i}-n_{2}\cos \theta _{t}}{n_{1}\cos \theta _{i}+n_{2}\cos \theta _{t}}}\right\vert ^{2}=\left\vert {\frac {n_{1}\cos \theta _{i}-n_{2}{\sqrt {1-{\bigl (}{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}{\bigr )}^{2}}}}{n_{1}\cos \theta _{i}+n_{2}{\sqrt {1-{\bigl (}{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}{\bigr )}^{2}}}}}\right\vert ^{2}}$,

mentre que la reflectància per la llum p-polaritzada,

${\displaystyle R_{p}=\left\vert {\frac {n_{1}\cos \theta _{t}-n_{2}\cos \theta _{i}}{n_{1}\cos \theta _{t}+n_{2}\cos \theta _{i}}}\right\vert ^{2}=\left\vert {\frac {n_{1}{\sqrt {1-{\bigl (}{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}{\bigr )}^{2}}}-n_{2}\cos \theta _{i}}{n_{1}{\sqrt {1-{\bigl (}{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}{\bigr )}^{2}}}+n_{2}\cos \theta _{i}}}\right\vert ^{2}}$.

La segona igualtat que apareix a cada equació s'ha obtingut eliminant θ_t tot usant la llei de Snell i identitats trigonomètriques.

Com a conseqüència de la conservació de l'energia, les transmitàncies venen donades per ^[1]

${\displaystyle T_{s}=1-R_{s}}$

i

${\displaystyle T_{p}=1-R_{p}}$.

Aquestes relacions són vàlides només per potència o intensitat. Més endavant es mostrarà pels casos on es tenen amplituds complexes en els coeficients de reflexió i transmissió.

Si la llum incident és despolaritzada (és a dir, conté una mescla de polarització p i s), aleshores la reflectància ve donada per,

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}(R_{s}+R_{p})}$.

Pel cas d'incidència normal es compleix, ${\displaystyle \theta _{i}=\theta _{t}=0}$ i a més no tenim distinció entre polarització s i p. D'aquesta manera, la reflectància se simplifica a

${\displaystyle R=\left\vert {\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right\vert ^{2}}$.

Existeix un angle particular per uns determinats índexs n₁ i n₂ tal que el valor de R_p tendeix a zero i un raig incident p-polaritzat és totalment refractat. Aquest angle es coneix com a angle de Brewster i es troba al voltant dels 56° per un vidre en aire. Aquest fet és vàlid quan els índexs de refracció dels dos materials són nombres reals. Per materials que absorbeixen la llum, com són els metalls i els semiconductors, n és complex i R_p no té perquè tendir a zero.

Quan la llum passa d'un medi més dens cap a un que ho és menys (i.e., n₁ > n₂), amb un angle d'incidència per sobre de l'angle crític, tota la llum és reflectida i R_s = R_p = 1. Aquest fenomen es coneix com a reflexió interna total. L'angle crític ocorre quan l'angle d'incidència, ${\displaystyle \theta _{i}}$, resulta en un angle de transmissió ${\displaystyle \theta _{t}=\pi /4}$.

Pels materials magnètics, existeix el cas especial on els índexs de refracció reals són iguals, ${\displaystyle n_{1}=n_{2}}$, però les permeabilitats magnètiques no són iguals. En aquest cas, el raig reflectit és independent de la polarització del raig incident i de l'angle d'incidència.

Les equacions pels coeficients que corresponen a ratios del camp elèctric d'ones amb amplitud complexa també s'anomenen equacions de Fresnel. Prenen diferents formes depenent del formalisme i el conveni de signes escollit. Els coeficients d'amplitud es representen usualment per r i t.

Al tractament que es fa tot seguit, el coeficient ${\displaystyle r}$ denota el ratio entre l'amplitud de l'ona reflectida i la incident. El coeficient ${\displaystyle t}$ es refereix al ratio entre l'amplitud de l'ona transmesa i la de l'ona incident. La llum se separa en polarització s i p, seguint la definició donada anteriorment.

Pel cas de polarització s, un valor positiu de ${\displaystyle r}$ o ${\displaystyle t}$, vol dir que el camp elèctric del raig incident i reflectit o transmès són paral·lels, mentre que si prenen un valor negatiu, els camps seran antiparal·lels. Per polarització p, tenir ${\displaystyle r}$ o ${\displaystyle t}$ negatius, voldrà dir que els camps magnètics de les ones són paral·lels, mentre que un valor negatiu, voldrà dir que els camps són antiparal·lels. S'assumeix a més que la permeabilitat magnètica, ${\displaystyle \mu }$, en tots dos medis és igual a la permeabilitat magnètica del buit, ${\displaystyle \mu _{0}}$.

Usant el conveni de signes descrit anteriorment,

${\displaystyle r_{s}={\frac {n_{1}\cos \theta _{i}-n_{2}\cos \theta _{t}}{n_{1}\cos \theta _{i}+n_{2}\cos \theta _{t}}}=t_{s}-1}$,

${\displaystyle t_{s}={\frac {2n_{1}\cos \theta _{i}}{n_{1}\cos \theta _{i}+n_{2}\cos \theta _{t}}}=r_{s}+1}$,

${\displaystyle r_{p}={\frac {n_{2}\cos \theta _{i}-n_{1}\cos \theta _{t}}{n_{1}\cos \theta _{t}+n_{2}\cos \theta _{i}}}}$,

${\displaystyle t_{p}={\frac {2n_{1}\cos \theta _{i}}{n_{1}\cos \theta _{t}+n_{2}\cos \theta _{i}}}}$.

Com que tant l'ona reflectida com la incident es propaguen en el mateix medi i formen el mateix angle amb la normal, el coeficient de reflexió està relacionat amb la reflectància ${\displaystyle R}$ mitjançant:

${\displaystyle R=|r|^{2}}$.

Pel cas de la transmitància, com que la llum viatja en diferents direccions i velocitat en tots dos medis, es pot relacionar amb el coeficient ${\displaystyle t}$ a partir de:

${\displaystyle T={\frac {n_{2}\cos \theta _{t}}{n_{1}\cos \theta _{i}}}|t|^{2}}$.

En el cas de la reflexió interna total, els coeficients ${\displaystyle t_{p}}$ i ${\displaystyle t_{s}}$són nombres complexos que representen la ona evanescent.