Factor invariant

Els factors invariants d'un mòdul sobre un anell principal apareixen en una de les formes del teorema d'estructura dels mòduls finitament generats sobre un anell principal.

Si ${\displaystyle A}$ és un anell principal i ${\displaystyle M}$ és un ${\displaystyle A}$-mòdul finitament generat, llavors

${\displaystyle M\cong A^{r}\oplus A/(a_{1})\oplus A/(a_{2})\oplus \cdots \oplus A/(a_{m})}$

per alguns ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} _{0}^{+}}$ i elements no-nuls ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}\in A}$ tals que ${\displaystyle a_{1}\mid a_{2}\mid \cdots \mid a_{m}}$. L'enter no negatiu ${\displaystyle r}$ s'anomena el rang lliure o nombre de Betti del mòdul ${\displaystyle M}$, mentre que els ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}}$ són els factors invariants de ${\displaystyle M}$, que són únics llevat d'unitats.

Els factors invariants d'una matriu sobre un anell principal apareixen en la forma normal de Smith i proporcionen un mètode per calcular l'estructura d'un mòdul a partir d'un conjunt de generadors i les seves relacions.

• Hawkes, B. Hartley, T.O. Rings, modules and linear algebra: a further course in algebra describing the structure of Abelian groups and canonical forms of matrices through the study of rings and modules. Reprinted Ed. Londres: Chapman & Hall, 1970, p. 128. ISBN 0-412-09810-5. 
• Lang, Serge. Algebra. 3a. ed. revisada. Nova York: Springer, 2005, p. 153. ISBN 978-0-387-95385-4. 

• Divisor elemental