Funció de Bessel-Clifford

En anàlisi matemàtica, la funció de Bessel–Clifford, anomenada en honor de Friedrich Bessel i William Kingdon Clifford, és una funció entera de dues variables complexes que es pot usar per proveir un desenvolupament alternatiu en la teoria de les funcions de Bessel. Si

${\displaystyle \pi (x)={\frac {1}{\Pi (x)}}={\frac {1}{\Gamma (x+1)}}}$

és la funció entera definida mitjançant la funció gamma recíproca, llavors la funció de Bessel–Clifford es defineix com la sèrie:

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\pi (k+n){\frac {z^{k}}{k!}}}$

La raó de termes successius és z/k(n + k), que per tot valor de z i n tendeix a zero a mesura que s'incrementa la k. Segons el criteri de d'Alembert, aquesta sèrie convergeix absolutament per tot z i n, i uniformament per totes les regions amb |z| delimitat, i per tant la funció de Bessel–Clifford és una funció entera de les dues variables complexes n i z.

Derivant respecte x la sèrie superior  ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}(x)}$ es satisfà l'equació diferencial lineal homogènia de segon ordre

${\displaystyle xy''+(n+1)y'=y.\qquad }$

Aquesta equació és de tipus hipergeomètric generalitzat, i de fet, la funció de Bessel-Clifford és, fins a un cert factor d'escala, una funció hipergeomètrica de Pochhammer–Barnes; es té

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}(z)=\pi (n)\ _{0}F_{1}(;n+1;z).}$

A menys que sigui un valor enter negatiu, en què la part de la dreta de la igualtat no queda definit, les dues definicions són essencialment equivalents; la funció hipergeomètrica ha de ser normalitzada perquè el seu valor a z = 0 sigui u.

La funció de Bessel de primer tipus es pot definir en termes de la funció de Bessel-Cliffor com:

${\displaystyle J_{n}(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}{\mathcal {C}}_{n}\left(-{\frac {z^{2}}{4}}\right);}$

quan n no és enter es pot veure que la funció de Bessel no és entera. De manera similar, la funció de Bessel modificada de primer tipus pot ser definida com:

${\displaystyle I_{n}(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}{\mathcal {C}}_{n}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right).}$

Evidentment, el procediment pot ser revertit, de manera que es pot expressar la funció de Bessel–Clifford com:

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}(z)=z^{-n/2}I_{n}(2{\sqrt {z}});}$

però partint d'aquest punt, s'hauria llavors de demostrar que ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ és una funció entera.

De la definició de la sèrie, es segueix immediatamant que ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\mathcal {C}}_{n}(x)={\mathcal {C}}_{n+1}(x).}$

Utilitzant això, es pot reescriure l'equació diferencial per ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ com:

${\displaystyle x{\mathcal {C}}_{n+2}(x)+(n+1){\mathcal {C}}_{n+1}(x)={\mathcal {C}}_{n}(x),}$

que defineix la relació de recurrència per a la funció de Bessel-Clifford. Això és equivalent a una relació similar per ₀F₁. Es té, com un cas especial de la fracció contínua de Gauss:

${\displaystyle {\frac {{\mathcal {C}}_{n+1}(x)}{{\mathcal {C}}_{n}(x)}}={\cfrac {1}{n+1+{\cfrac {x}{n+2+{\cfrac {x}{n+3+{\cfrac {x}{\ddots }}}}}}}}.}$

Es pot demostrar que aquesta fracció contínua convergeix en tots els casos.

L'equació diferencial de Bessel–Clifford

${\displaystyle xy''+(n+1)y'=y\qquad }$

té dues solucions linealment independent. Com que l'origen és un punt singular regular de l'equació diferencial, i com que ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ és enter, la segona solució ha de ser singular a l'origen.

si s'estableix

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{n}(x)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-t-{\frac {x}{t}}\right){\frac {dt}{t^{n+1}}}}$

que convergeix per ${\displaystyle \Re (x)>0}$, i es continua analíticament, s'obté una segona solució linealment independent a l'equació diferencial.

El factor d'1/2 s'insereix per tal de fer correspondre ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ a una funció de Bessel de segon tipus. Es té:

${\displaystyle K_{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}{\mathcal {K}}_{n}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right).}$

i

${\displaystyle Y_{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}{\mathcal {K}}_{n}\left(-{\frac {x^{2}}{4}}\right).}$

En termes de K, es té

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{n}(x)=x^{-n/2}K_{n}(2{\sqrt {x}}).}$

Per tant, com en el cas de la funció de Bessel i la funció de Bessel modificada de primer tipus en què ambdues es poden expressar en termes de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, aquestes de segon tipus es poden ambdues expressar en termes de ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$.

Si es multiplica la sèrie absolutament convergent per exp(t) i exp(z/t) junt, s'obté (quan t no és zero) una sèrie absolutament convergent per exp(t + z/t). Ajuntant els valors amb t, es troba en comparació amb la definició de sèrie de potències per ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$ que es té:

${\displaystyle \exp \left(t+{\frac {z}{t}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }t^{n}{\mathcal {C}}_{n}(z).}$

Aquesta funció de generació es pot llavors usar per obtenir més fórmules, en particular, es pot utilitzar la fórmula de la integral de Cauchy i obtenir ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$ per n enter com:

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {\exp(z+z/t)}{t^{n+1}}}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\exp(z(1+\exp(-i\theta ))-ni\theta ))\,d\theta .}$

• Clifford, William Kingdon «On Bessel's Functions». Mathematical Papers [Londres], 1882, p. 346–349..
• Greenhill, A. George «The Bessel–Clifford function, and its applications». Philosophical Magazine, Sixth Series, 1919, p. 501–528..
• Legendre, Adrien-Marie. Éléments de Géometrie, 1802. .
• Schläfli, Ludwig «Sulla relazioni tra diversi integrali definiti che giovano ad esprimere la soluzione generale della equazzione di Riccati». Annali di Matematica Pura ed Applicata, 2, I, 1868, p. 232–242..
• Watson, G. N.. A Treatise on the Theory of Bessel Functions. Second. Cambridge: Cambridge University Press, 1944. .
• Wallisser, Rolf. «On Lambert's proof of the irrationality of π». A: Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis. Berlín: Walter de Gruyer, 2000. ISBN 3-11-016304-7. .