Identitat dels quatre quadrats d'Euler

La identitat dels quatre quadrats d'Euler és una identitat vàlida en un anell commutatiu. Afirma que: ( − a w + b x + c y + d z ) 2 + ( a x + b w + c z − d y ) 2 + ( a y − b z + c w + d x ) 2 + ( a z + b y − c x + d w ) 2 = {\displaystyle (-aw+bx+cy+dz)^{2}+(ax+bw+cz-dy)^{2}+(ay-bz+cw+dx)^{2}+(az+by-cx+dw)^{2}=\,}

a 2 w 2 + b 2 w 2 + c 2 w 2 + d 2 w 2 + a 2 x 2 + b 2 x 2 + c 2 x 2 + d 2 x 2 + a 2 y 2 + b 2 y 2 + c 2 y 2 + d 2 y 2 + a 2 z 2 + b 2 z 2 + c 2 z 2 + d 2 z 2 = {\displaystyle a^{2}w^{2}+b^{2}w^{2}+c^{2}w^{2}+d^{2}w^{2}+a^{2}x^{2}+b^{2}x^{2}+c^{2}x^{2}+d^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}y^{2}+d^{2}y^{2}+a^{2}z^{2}+b^{2}z^{2}+c^{2}z^{2}+d^{2}z^{2}=\,}

( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) ( w 2 + x 2 + y 2 + z 2 ) {\displaystyle (a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})(w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2})\,}

En particular, la identitat permet concloure que qualsevol nombre enter positiu es pot escriure com suma al més quatre quadrats si i només si cada primer pot ser escrit d'aquesta forma. Aquest resultat és atribuït a Lagrange.

Euler va escriure sobre aquesta identitat a Christian Goldbach en una carta datada el 4 de maig de 1748.[1][2]

Referències

  1. ↑ Leonhard Euler: Life, Work and Legacy, R.E. Bradley and C.E. Sandifer (eds), Elsevier, 2007, p. 193
  2. ↑ Mathematical Evolutions, A. Shenitzer and J. Stillwell (eds), Math. Assoc. America, 2002, p. 174

Enllaços externs

  • Weisstein, Eric W., «Euler Four-Square Identity» a MathWorld (en anglès).