Matriu antisimètrica

Una matriu de nxm elements:

A = ( a 11 a 12 a 13 . . . a 1 m a 21 a 22 a 23 . . . a 2 m a 31 a 32 a 33 . . . a 3 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 a n 3 . . . a n m ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&.&.&.&a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&.&.&.&a_{2m}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&.&.&.&a_{3m}\\.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&.&.&.&a_{nm}\\\end{pmatrix}}}

és antisimètrica, si és una matriu quadrada (m = n) i a j i = − a i j {\displaystyle a_{ji}=-a_{ij}} per a tot i,j =1,2,3,...,n. En conseqüència, a i i = 0 {\displaystyle a_{ii}=0} per a tot i. Per tant, la matriu A té la forma:

A = ( 0 a 12 a 13 . . . a 1 n − a 12 0 a 23 . . . a 2 n − a 13 − a 23 0 . . . a 3 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . − a 1 n − a 2 n − a 3 n . . . 0 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&a_{12}&a_{13}&.&.&.&a_{1n}\\-a_{12}&0&a_{23}&.&.&.&a_{2n}\\-a_{13}&-a_{23}&0&.&.&.&a_{3n}\\.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\-a_{1n}&-a_{2n}&-a_{3n}&.&.&.&0\\\end{pmatrix}}}

Notem que la matriu transposada de la matriu antisimètrica A és -A, i que la antisimetria és respecte a la diagonal principal.

Enllaços externs

  • Antisymmetric Matrix. MathWorld (anglès)