Matriu de Cauchy

En matemàtiques, una matriu de Cauchy, anomenada després d'Augustin-Louis Cauchy, és una matriu m × n amb elements a _ij en la forma ^[1][2]

${\displaystyle a_{ij}={\frac {1}{x_{i}-y_{j}}};\quad x_{i}-y_{j}\neq 0,\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n}$

on ${\displaystyle x_{i}}$ i ${\displaystyle y_{j}}$ són elements d'un camp ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, i ${\displaystyle (x_{i})}$ i ${\displaystyle (y_{j})}$ són seqüències injectives (contenen elements diferents).

La matriu de Hilbert és un cas especial de la matriu de Cauchy, on

${\displaystyle x_{i}-y_{j}=i+j-1.\;}$

Cada submatriu d'una matriu de Cauchy és en si mateixa una matriu de Cauchy.

${\displaystyle D_{n}={\begin{vmatrix}{\frac {1}{a_{1}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{1}+b_{2}}}&\dots &{\frac {1}{a_{1}+b_{n}}}\\{\frac {1}{a_{2}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{2}+b_{2}}}&\dots &{\frac {1}{a_{2}+b_{n}}}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\{\frac {1}{a_{n}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{n}+b_{2}}}&\dots &{\frac {1}{a_{n}+b_{n}}}\end{vmatrix}}}$

El determinant d'una matriu de Cauchy és clarament una fracció racional en els paràmetres ${\displaystyle (x_{i})}$ i ${\displaystyle (y_{j})}$. Si les seqüències no fossin injectives, el determinant s'esvairia, i tendeix a l'infinit si n'hi ha ${\displaystyle x_{i}}$ Tendeix a ${\displaystyle y_{j}}$. Així es coneix un subconjunt dels seus zeros i pols. El fet és que ja no hi ha zeros i pols: ^[3]

El determinant d'una matriu de Cauchy quadrada A es coneix com a determinant de Cauchy i es pot donar de manera explícita com a^[4]

${\displaystyle \det \mathbf {A} ={{\prod _{i=2}^{n}\prod _{j=1}^{i-1}(x_{i}-x_{j})(y_{j}-y_{i})} \over {\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{n}(x_{i}-y_{j})}}}$  (Schechter 1959, eq. 4; Cauchy 1841, pàg. 154, eq. 10).

Sempre és diferent de zero i, per tant, totes les matrius de Cauchy quadrades són invertibles. La inversa A ⁻¹ = B = [b _ij ] ve donada per

${\displaystyle b_{ij}=(x_{j}-y_{i})A_{j}(y_{i})B_{i}(x_{j})\,}$    (Schechter 1959, Teorema 1)

on A _i (x) i B _i (x) són els polinomis de Lagrange per ${\displaystyle (x_{i})}$ i ${\displaystyle (y_{j})}$, respectivament. Això és,

${\displaystyle A_{i}(x)={\frac {A(x)}{A^{\prime }(x_{i})(x-x_{i})}}\quad {\text{i}}\quad B_{i}(x)={\frac {B(x)}{B^{\prime }(y_{i})(x-y_{i})}},}$

amb

${\displaystyle A(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})\quad {\text{i}}\quad B(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-y_{i}).}$