Matriu de Sylvester

En algebra lineal, la ‘’’matriu de Sylvester’’’ de dos polinomis aporta informacions d'ordre aritmètic sobre aquests polinomis. S'anomena així en honor de James Joseph Sylvester. Serveix per a la definició del resultant de dos polinomis.

Siguen p i q dos polinomis no nuls, de graus respectius m i n.

${\displaystyle p(z)=p_{0}+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots +p_{m}z^{m},\;q(z)=q_{0}+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots +q_{n}z^{n}.}$

la matriu de Sylvester associada a p i q és la matriu quadrada ${\displaystyle (n+m)\times (n+m)}$ definida així:

• la primera fila es forma amb els coeficients de p, seguits de zeros:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}$

• la segona fila s'obté a partir de la primera per permutació circular cap a la dreta
• les (m-2) files següents s'obtenen repetint la mateixa operació
• la fila (m+1) es forma amb els coeficients de q, seguits de zeros:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}$

• les línies següents es formen per permutacions circulars.

Així en el cas m=4 i n=3, la matriu obtinguda és

${\displaystyle S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}.}$

El determinant de la matriu de p i q es diu determinant de Sylvester o resultant de p i q.

L'equació Bézout d'incògnites els polinomis x (de grau <m) i y (de grau <n)

${\displaystyle x\cdot p+y\cdot q=0}$

Es pot reescrure matricialment

${\displaystyle S_{p,q}\cdot {\begin{pmatrix}{\tilde {x}}\\{\tilde {y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$

en la qual ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ és el vector de mida ${\displaystyle n}$ dels coeficients del polinomi x i ${\displaystyle {\tilde {y}}}$ el vector de mida ${\displaystyle m}$.

Així el nucli de la matriu de Sylvester dona totes les solucions de l'equació de Bézout amb ${\displaystyle \deg x<\deg q}$ i ${\displaystyle \deg y<\deg p}$.

El rang de la matriu de Sylvester determina el grau del màxim comú divisor de ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$.

${\displaystyle \deg(\mathrm {mcd} (p,q))=m+n-\mathrm {rang} ~S_{p,q}}$.

• Resultant