Nombre primer de Newman-Shanks-Williams

En matemàtiques, un nombre primer de Newman-Shanks-Williams (o primer de NSW) és un nombre primer p que pot ser expressat com:

S 2 m + 1 = ( 1 + 2 ) 2 m + 1 + ( 1 − 2 ) 2 m + 1 2 {\displaystyle S_{2m+1}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2m+1}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2m+1}}{2}}} .[1]

Aquests nombres primers de NSW van ser descrits per primer cop per Morris Newman, Daniel Shanks i Hugh C. Williams l'any 1981 quan estudiaven els grups finits simples amb arrels quadrades. Els primers nombres primers de NSW són:

7, 41, 239, 9369319, 63018038201, … [2]

que corresponen als nombres que tenen com a índex m:

3, 5, 7, 19, 29, … [3]

La seqüència S que es mostra en la fórmula pot ser descrita a través de la següent relació de recurrència:

S 0 = 1 {\displaystyle S_{0}=1\,}
S 1 = 1 {\displaystyle S_{1}=1\,}
S n = 2 S n − 1 + S n − 2 per tot  n ≥ 2. {\displaystyle S_{n}=2S_{n-1}+S_{n-2}\qquad {\text{per tot }}n\geq 2.}

Els primers termes de la seqüència són:

1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, ...[4]

Cada terme de la seqüència és igual a la meitat del terme corresponent en la sèrie de nombres de Pell-Lucas, seqüència definida com:

Q n = { 2 si  n = 0 ; 2 si  n = 1 ; 2 Q n − 1 + Q n − 2 altrament. {\displaystyle Q_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{si }}n=0;\\2&{\mbox{si }}n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&{\mbox{altrament.}}\end{cases}}}

Altres expressions[1]

Com a solució d'una equació diofantina

La fórmula explícita

S 2 m + 1 = ( 1 + 2 ) 2 m + 1 + ( 1 − 2 ) 2 m + 1 2 . {\displaystyle S_{2m+1}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2m+1}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2m+1}}{2}}.}

S'obté com a solució per m {\displaystyle m} per l'equació diofantina

2 n = m 2 + 1 {\displaystyle 2n=m^{2}+1}

Interpretació geomètrica

L'equació diofantina de l'apartat anterior pot interpretar-se geomètricament amb m {\displaystyle m} indexant la diagonal dels quadrats de costat n {\displaystyle n} amb llargària igual a 1 + m 2 {\displaystyle 1+m^{2}} .

Com a relació de recurrència

El valor de m {\displaystyle m} pot expressar-se com la relació de recurrència

S ( k ) = 6 S ( k − 1 ) − S ( k − 2 ) {\displaystyle S(k)=6S(k-1)-S(k-2)}

Referències

  1. ↑ 1,0 1,1 Weisstein, Eric W. «NSW Number» (en anglès). Wolfram MathWorld. [Consulta: 11 febrer 2015].
  2. ↑ (successió A088165 a l'OEIS)
  3. ↑ (successió A005850 a l'OEIS)
  4. ↑ (successió A001333 a l'OEIS)

Enllaços externs

  • The Prime Glossary: NSW number