Operador pseudo-diferencial

En anàlisi matemàtica un operador pseudo-diferencial és una extensió del concepte d'operador diferencial. Els operadors pseudo-diferencials s'utilitzen àmpliament en la teoria d'equacions diferencials parcials i en la teoria quàntica de camps, per exemple, en models matemàtics que inclouen equacions pseudo-diferencials ultramètriques en un espai no arquimède.^[1]

L'estudi dels operadors pseudo-diferencials va començar a mitjans dels anys 60 amb el treball de Kohn, Nirenberg, Hörmander, Unterberger i Bokobza.^[2]

Van tenir un paper influent en la segona demostració del teorema de l'índex Atiyah-Singer mitjançant la teoria K. Atiyah i Singer van agrair a Hörmander l'ajuda per entendre la teoria dels operadors pseudo-diferencials.

Considereu un operador diferencial lineal amb coeficients constants,^[3]

${\displaystyle P(D):=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,D^{\alpha }}$

que actua sobre funcions suaus ${\displaystyle u}$ amb suport compacte en Rⁿ. Aquest operador es pot escriure com una composició d'una transformada de Fourier, una simple multiplicació per la funció polinòmica (anomenada símbol)

${\displaystyle P(\xi )=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,\xi ^{\alpha },}$

i una transformada de Fourier inversa, de la forma:

${\displaystyle \quad P(D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(\xi )u(y)\,dy\,d\xi }$

(1)

Per resoldre l'equació en derivades parcials

${\displaystyle P(D)\,u=f}$

apliquem (formalment) la transformada de Fourier a ambdós costats i obtenim l'equació algebraica

${\displaystyle P(\xi )\,{\hat {u}}(\xi )={\hat {f}}(\xi ).}$

Si el símbol P ( ξ ) mai és zero quan ξ ∈ R ⁿ, llavors és possible dividir per P ( ξ ):

${\displaystyle {\hat {u}}(\xi )={\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )}$

Per la fórmula d'inversió de Fourier, una solució és

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

Aquí veiem els operadors pseudo-diferencials com una generalització dels operadors diferencials. Ampliem la fórmula (1) de la següent manera. Un operador pseudo-diferencial P (x,D) a Rⁿ és un operador el valor del qual a la funció u(x) és la funció de x:

${\displaystyle \quad P(x,D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }P(x,\xi ){\hat {u}}(\xi )\,d\xi }$

(2)

on ${\displaystyle {\hat {u}}(\xi )}$ és la transformada de Fourier de u i el símbol P ( x, ξ ) de l'integrand pertany a una classe de símbols determinada. Per exemple, si P(x,ξ) és una funció infinitament derivable en Rⁿ×Rⁿ amb la propietat

${\displaystyle |\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }P(x,\xi )|\leq C_{\alpha ,\beta }\,(1+|\xi |)^{m-|\alpha |}}$

per a tot x, ξ ∈ Rⁿ, tots els multiíndexs α, β, algunes constants C_{α, β} i algun nombre real m, aleshores P pertany a la classe de símbols ${\displaystyle \scriptstyle {S_{1,0}^{m}}}$ d'Hörmander. L'operador corresponent P(x, D) s'anomena operador pseudo-diferencial d'ordre m i pertany a la classe ${\displaystyle \Psi _{1,0}^{m}.}$ ^[4]