Pullback

En matemàtiques, el concepte de pullback té diferents significats segons sigui el context. Els principals són:

• Entre conjunts: Donats dos mapatges ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ i ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ la composició ${\displaystyle g\cdot f\colon X\to Z}$ pot considerar-se com el pullback de ${\displaystyle g}$ sota ${\displaystyle f}$, i s'escriu simbòlicament ${\displaystyle f^{*}(g)=g\cdot f}$

• En l'àlgebra multilineal, donada una transformació lineal ${\displaystyle L\colon V\to W}$ entre dos espais vectorials ${\displaystyle V}$ i ${\displaystyle W}$, i un funcional lineal ${\displaystyle f\colon W\to \mathbb {R} }$ llavors ${\displaystyle L\cdot f\colon V\to \mathbb {R} }$ és un nou funcional lineal; d'aquesta manera es construeix el pullback ${\displaystyle L^{*}(f)=L\cdot f}$ de ${\displaystyle f\,}$. Aquesta idea es generalitza per a una aplicació k-multilineal ${\displaystyle f\colon W\otimes \cdots \otimes W\to \mathbb {R} }$ i ${\displaystyle L\colon V\to W}$ lineal, llavors es pot fer el pullback ${\displaystyle L^{*}(f)\colon V\otimes \cdots \otimes V\to \mathbb {R} }$ mitjançant l'artifici

${\displaystyle L^{*}(f)(v_{1}...,v_{k})=f(Lv_{1}...,Lv_{k})\,}$

• En els fibrosos: donat un fibrós ${\displaystyle F\subset E\to B}$ amb projecció ${\displaystyle \pi }$ i un mapatge continu ${\displaystyle f\colon X\to B}$ es pot construir un nou fibrós (anomenat el pullback d'E) ${\displaystyle F\subset f^{*}E\to X}$ mitjançant

${\displaystyle f^{*}E=\{(x,e)\in X\times E\colon f(x)=\pi (e)\}}$

• Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See sections 1.5 and 1.6.
• Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.