Robot esfèric
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Robot_polar.svg/220px-Robot_polar.svg.png)
Un robot esfèric, és un robot industrial format per dues articulacions de revolució i una articulació prismàtica, disposades segons un sistema de coordenades esfèric.[2][3]
N'hi ha diferents variants segons l'orientació dels eixos de revolució. Si el primer eix de rotació és vertical i el segon horitzontal, aleshores s'anomena robot polar. També hi ha una disposició en la que els eixos de rotació es col·loquen horitzontalment, com en una suspensió de Cardan, i aleshores s'anomena robot pendular.[3] Aquest tipus de configuració es va fer servir en el primer robot industrial, l'Unimate. Aquest robot tenia cinc graus de llibertat, gràcies a un terminal amb dos eixos de rotació, i disposava d'actuadors hidràulics.[1] Es va fer servir per primer cop l'any 1961 a una fàbrica de General Motors, traient parts d'un motlle de fosa.[4]
Aquest disseny s'empra majoritàriament moure peces o servir altres màquines, ja que té un abast llarg i recte que s'adapta bé a premses o motlles. Actualment és un tipus de robot poc usat, ja que es prefereixen configuracions més flexibles com la del robot articulat.[5]
Cinemàtica
En un robot esfèric es pot resoldre la cinemàtica directa mitjançant el conveni de Denavit-Hartenberg. A continuació s'adjunta una imatge amb l'abstracció d'un manipulador esfèric de tipus polar, amb tres graus de llibertat, RRP. El primer origen de coordenades s'ha ubicat a la intersecció entre z0 i z1 per anul·lar el paràmetre del desplaçament de l'element (d1 = 0). Anàlogament, l'origen del segon sistema de coordenades s'ha posicionat a la intersecció entre z1 i z₂.[6]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Robot_esferic.svg/220px-Robot_esferic.svg.png)
Amb els sistemes de coordenades que s'han presentat a la imatge, els paràmetres de Denavit-Hartenberg s'inclouen a la taula següent:[7]
Element | ai | αi | di | θi |
---|---|---|---|---|
1 | 0 | -π/2 | 0 | θ1* |
2 | 0 | π/2 | d₂ | θ₂* |
3 | 0 | 0 | d₃* | 0 |
Fent servir els paràmetres, les matrius de transformació homogènies que s'obtenen per cada articulació són:[7]
Així, si es computa la funció de la cinemàtica directa, s'obté que:[6]
On . S'ha de notar que la tercera articulació, la prismàtica, òbviament no afecta a la matriu de rotació. A més a més, l'orientació del vector unitari està determinat únicament per la primera articulació, ja que l'eix de revolució de la segona articulació és paral·lela a l'eix . En aquest cas, el sistema de coordenades 3 pot representar un sistema de coordenades de vectors unitaris [6]
Per altra banda, la cinemàtica inversa permet trobar els valors de les variables de les articulacions corresponents a una posició del terminal determinada. En aquest cas, la posició que es vol obtenir al terminal és i s'han de trobar els valors de les variables i que permeten assolir-la.
Per aïllar les variables de les que depèn és convenient expressar la posició del terminal respecte l'origen de coordenades 1. L'equació de matrius s'obté és:[8]
Igualant els primers tres elements de les quartes columnes de les matrius a cada banda s'obté:
I aquestes equacions només depenen de les variables i . Per resoldre aquestes tres equacions amb dues incògnites, s'aplica la següent substitució:
Aleshores s'obté que:
Substituint aquestes equacions al tercer component a la banda esquerra de l'equació s'obté:
I aquesta equació de segon grau de la variable es pot resoldre aplicant la fórmula convencional, amb el resultat següent:
Les dues solucions resultants es corresponen a les dues diferents postures del manipulador. Així doncs:
Una vegada es coneix , elevant al quadrat i sumant els primers dos components de l'equació de matrius s'obté:
On només la solució amb s'ha considerat. S'ha de notar que el mateix valor de es correspon a les dues solucions per . Finalment, si , dels primers dos components de l'equació de matrius en resulta:
I a partir d'aquesta equació es pot extreure
A destacar que, si , aleshores no té una única solució.
Referències
Bibliografia
- Blas i Abante, Marta; Mateu i Martínez, M. Rosa; Picó i Garcia, Rosa Maria; Riba i Romeva, Carles. «Diccionari de robòtica industrial» p. 18, 1991. [Consulta: 21 setembre 2019].
- Nof, Shimon Y. Handbook of Industrial Robotics. John Wiley & Sons, 1999, p. 1378. ISBN 9780471177838 [Consulta: 21 setembre 2019].
- Riba i Romeva, Carles. «Els robots industrials I. Característiques» p. 76, 1998. [Consulta: 21 setembre 2019].
- Siciliano, Bruno; Khatib, Oussama. Springer Handbook of Robotics 2nd Edition. Berlin Heidelberg: Springer, 2016, p. 2259. ISBN 978-3-319-32550-7 [Consulta: 21 setembre 2019].
- Siciliano, Bruno; Sciavicco, Lorenzo; Villani, Luigi; Oriolo, Giuseppe. Robotics. Modelling, Planning and Control. Springer, 2009, p. 632. ISBN 978-1-84628-641-4 [Consulta: 21 setembre 2019].
- Wilson, Mike. Implementation of robot systems. An introduction to robotics, automation, and successful systems integration in manufacturing. Elsevier, 2015, p. 229. ISBN 978-0-124-04733-4 [Consulta: 21 setembre 2019].
Enllaços externs
- Vídeo a Youtube d'Angela Sodemann: Robotic 09_ inverse kinematics Example 03 (three link spherical Robot RRP) (anglès)