Rosa (matemàtiques)

Rosa de k = 7 pètals.
Rosa de 8 pètals (k=4).
Roses definides per r = sin ⁡ k θ {\displaystyle r=\sin k\theta } , per a diversos valors de k=n/d.

En matemàtiques, una rosa o corba rhodonea és una sinusoide dibuixada en coordenades polars. Aquestes corbes es poden expressar amb una equació polar de la forma

r = cos ⁡ ( k θ ) . {\displaystyle \!\,r=\cos(k\theta ).}

Si k és un enter, la corba serà una rosa de

  • 2k pètals si k és parell, i
  • k pètals si k és senar.

Quan k és parell, la gràfica completa de la rosa és traçada un sol cop quan el valor de θ varia de 0 a 2π. Quan k és senar, això passa a l'interval entre 0 i π. (De forma més general, això pasa en qualsevol interval de longitud 2π per a k parell, i π per a k senar.)

Si k és un nombre racional, llavors la corba és tancada i té longitud finita. Si k és un nombre irracional, llavors no és tancada i té longitud infinita. És més, en aquest últim cas, la gràfica de la rosa esdevé un conjunt dens (és a dir, passa arbitràriament a prop de qualsevol punt del disc de radi unitat).

Donat que

sin ⁡ ( k θ ) = cos ⁡ ( k θ − π 2 ) = cos ⁡ ( k ( θ − π 2 k ) ) {\displaystyle \sin(k\theta )=\cos \left(k\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(k\left(\theta -{\frac {\pi }{2k}}\right)\right)}

Per a to θ {\displaystyle \theta } , les curves donades per les equacions polars

r = sin ⁡ ( k θ ) {\displaystyle \,r=\sin(k\theta )} i r = cos ⁡ ( k θ ) {\displaystyle \,r=\cos(k\theta )}

són idèntiques tret d'una rotació de π/2k radians.

El nom de les roses els el va donar el matemàtic italià Guido Grandi entre l'any 1723 i el 1728.[1]

Àrea

Una rosa que té equació polar de la forma

r = a cos ⁡ ( k θ ) {\displaystyle r=a\cos(k\theta )\,}

on k és un enter positiu, té una àrea de

1 2 ∫ 0 2 π ( a cos ⁡ ( k θ ) ) 2 d θ = a 2 2 ( π + sin ⁡ ( 4 k π ) 4 k ) = π a 2 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}}

si k és parell, i

1 2 ∫ 0 π ( a cos ⁡ ( k θ ) ) 2 d θ = a 2 2 ( π 2 + sin ⁡ ( 2 k π ) 4 k ) = π a 2 4 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}}

si k és senar.

El mateix s'aplica a les roses amb equacions polars de la forma

r = a sin ⁡ ( k θ ) {\displaystyle r=a\sin(k\theta )\,}

Donat que la seva gràfica no és res més que una rotació de les roses definides fent servir el cosinus.

Vegeu també

  • Corba de Lissajous
  • Quadrifoli – una rosa amb k=2.

Referències

  1. ↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «Rhodonea» (en anglès). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland.

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Rosa
  • Rosa a Mathworld
  • Applet per a crear roses amb paràmetre k Arxivat 2007-03-25 a Wayback Machine.
  • Diccionari visual de corbes planes especials, Xah Lee.

Viccionari