Tall de Dedekind

Un tall de Dedekind separa el conjunt dels nombres racionals en dos subconjunts: aquells que el seu quadrat és més petit que 2 i aquells que el seu quadrat és més gran que 2. Aquest tall es pot identificar amb el nombre irracional 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} . El conjunt dels talls de Dedekind es pot fer servir per construir el conjunt dels nombres reals a partir dels nombres racionals.

En matemàtiques, un tall de Dedekind d'un conjunt totalment ordenat E {\displaystyle E} és una parella (A,B) de subconjunts de E {\displaystyle E} , que formen una partició de E, i on tot element de A {\displaystyle A} és més petit que tot element de B {\displaystyle B} .

De certa manera, aquest tall conceptualitza alguna cosa que es trobaria «entre» A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} , però que no ha de ser per força un element de E {\displaystyle E} .

Els talls de Dedekind van ser introduïts per Richard Dedekind com a mitjà de construcció del conjunt dels nombres reals (presentant de manera formal el que es troba «entre» els nombres racionals).

Definició

Un tall de Dedekind d'un conjunt totalment ordenat E {\displaystyle E} es defineix per una parella (A,B), on A ⊂ E {\displaystyle A\subset E} i B ⊂ E {\displaystyle B\subset E} , tals que:

  1. A ≠ ∅ , B ≠ ∅ {\displaystyle A\neq \emptyset ,B\neq \emptyset }
  2. A ∩ B = ∅ {\displaystyle A\cap B=\emptyset } # A ∪ B = E {\displaystyle A\cup B=E}
  3. ∀ x ∈ A , ∀ y ∈ B , x < y {\displaystyle \forall x\in A,\forall y\in B,x<y}

Els punts 1, 2 i 3 diuen que A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} constitueixen una partició de E {\displaystyle E} . Per tant, la definició d'un determina completament l'altre.

El punt 4 formula la partició dels elements de E {\displaystyle E} en aquestes dues parts. Es pot demostrar que aquest punt equival a:

  • ∀ x ∈ E , ( a ∈ A ∧ x ≤ a ⇒ x ∈ A ) {\displaystyle \forall x\in E,(a\in A\land x\leq a\Rightarrow x\in A)} i
  • ∀ y ∈ E , ( b ∈ B ∧ y ≥ b ⇒ y ∈ B ) {\displaystyle \forall y\in E,(b\in B\land y\geq b\Rightarrow y\in B)} .

Exemples

Construcció dels nombres reals

Si E = Q {\displaystyle E=\mathbb {Q} } , el conjunt dels nombres racionals, es pot considerar el tall següent:

A = { a ∈ Q | a 2 < 2 ∨ a ≤ 0 } {\displaystyle A=\{a\in \mathbb {Q} |a^{2}<2\lor a\leq 0\}}
B = { b ∈ Q | b 2 ≥ 2 ∧ b > 0 } {\displaystyle B=\{b\in \mathbb {Q} |b^{2}\geq 2\land b>0\}}

Aquest tall permet representar el nombre irracional 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} que aquí es defineix alhora pel conjunt nombres racionals que són més petits i pel dels nombres racionals que són més grans.

La presa en consideració de tots els talls de Dedekind sobre Q {\displaystyle \mathbb {Q} } permet una construcció del conjunt dels nombres reals R {\displaystyle \mathbb {R} } (vegeu l'article Construcció dels nombres reals).

Ordre sobre els talls de Dedekind

Siguin ( A , B ) {\displaystyle (A,B)} i ( C , D ) {\displaystyle (C,D)} dos talls de Dedekind de E {\displaystyle E} . Es defineix un ordre sobre el conjunt dels talls de Dedekind de E {\displaystyle E} posant:

( A , B ) < ( C , D ) ⇔ A ⊂ C {\displaystyle (A,B)<(C,D)\Leftrightarrow A\subset C} .

Es pot demostrar que el conjunt dels talls de Dedekind de E {\displaystyle E} proveït d'aquest ordre posseeix la propietat de la fita superior, fins i tot si E {\displaystyle E} no la posseeix. Submergint E {\displaystyle E} en aquest conjunt, se'l perllonga en un conjunt del que tota subclasse afitada posseeix un suprem.

Vegeu també