Teorema de Stolz-Cesàro

En matemàtiques, el teorema de Stolz-Cesàro és un criteri per demostrar la convergència d'una successió. El teorema porta el nom dels matemàtics Otto Stolz i Ernesto Cesàro, que ho van afirmar i demostrar per primera vegada.

El teorema de Stolz–Cesàro es pot veure com una generalització de la sumació de Cesàro, però també com una regla de L'Hôpital per a successions.

Siguin ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ i ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$ dues successions de nombre reals. Suposem que ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$ és una successió estrictament monòtona i divergent (és a dir, estrictament creixent i s'aproxima a ${\displaystyle +\infty }$, o estrictament decreixent i s'aproxima a ${\displaystyle -\infty }$) i existeix el següent límit:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\ }$

Aleshores, el límit

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\ }$

Aquest resultat s'empra per evitar indeterminacions del tipus ${\displaystyle \infty /\infty }$.

Siguin ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ i ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$ dues successions de nombre reals. Suposem ara que ${\displaystyle (a_{n})\to 0}$ i ${\displaystyle (b_{n})\to 0}$ mentre que ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$ és estrictament decreixent. Si

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l,\ }$

aleshores

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\ }$^[1]

Siguin ${\displaystyle \{a_{n}\}\ }$ i ${\displaystyle \{b_{n}\}\ }$ dues successions tals que,

• ${\displaystyle a_{n}>0,\forall n\in \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle b_{n}\ }$ és monótona creixent i divergent ${\displaystyle (b_{n}>0,\forall n)}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{b_{n+1}-b_{n}}]{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}=\lambda ,\lambda \in \mathbb {R} }$

Aleshores,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{b_{n}}]{a_{n}}}=\lambda }$

Cas 1: suposem que ${\displaystyle (b_{n})}$ estrictament creixent i divergent a ${\displaystyle +\infty }$ i ${\displaystyle -\infty <l<\infty }$. Per hipòtesi, tenim que per a tot ${\displaystyle \epsilon /2>0}$ existeix ${\displaystyle \nu >0}$ tal que ${\displaystyle \forall n>\nu }$

${\displaystyle \left|\,{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}-l\,\right|<{\frac {\epsilon }{2}},}$

és a dir

${\displaystyle l-\epsilon /2<{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}<l+\epsilon /2,\quad \forall n>\nu .}$

Com que ${\displaystyle (b_{n})}$ augmenta estrictament, ${\displaystyle b_{n+1}-b_{n}>0}$, i es compleix el següent

${\displaystyle (l-\epsilon /2)(b_{n+1}-b_{n})<a_{n+1}-a_{n}<(l+\epsilon /2)(b_{n+1}-b_{n}),\quad \forall n>\nu }$.

A continuació ens adonem que

${\displaystyle a_{n}=[(a_{n}-a_{n-1})+\dots +(a_{\nu +2}-a_{\nu +1})]+a_{\nu +1}}$

així, aplicant la desigualtat anterior a cadascun dels termes entre claudàtors, obtenim

${\displaystyle {\begin{aligned}&(l-\epsilon /2)(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}=(l-\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}<a_{n}\\&a_{n}<(l+\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}=(l+\epsilon /2)(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}.\end{aligned}}}$

Ara, com que ${\displaystyle b_{n}\to +\infty }$ amb ${\displaystyle n\to \infty }$, hi ha un ${\displaystyle n_{0}>0}$ tal que ${\displaystyle b_{n}>0}$ per a tots els ${\displaystyle n>n_{0}}$, i podem dividir les dues desigualtats per ${\displaystyle b_{n}}$ per a tots els ${\displaystyle n>\max\{\nu ,n_{0}\}}$

${\displaystyle (l-\epsilon /2)+{\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l-\epsilon /2)}{b_{n}}}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<(l+\epsilon /2)+{\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l+\epsilon /2)}{b_{n}}}.}$

Les dues successios (que només es defineixen per a ${\displaystyle n>n_{0}}$ ja que podria haver-hi un ${\displaystyle N\leq n_{0}}$ tal que ${\displaystyle b_{N}=0}$)

${\displaystyle c_{n}^{\pm }:={\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l\pm \epsilon /2)}{b_{n}}}}$

són infinitesimals ja que ${\displaystyle b_{n}\to +\infty }$ i el numerador és un nombre constant, per tant, per a tot ${\displaystyle \epsilon /2>0}$ existeix ${\displaystyle n_{\pm }>n_{0}>0}$, de manera que

${\displaystyle {\begin{aligned}&|c_{n}^{+}|<\epsilon /2,\quad \forall n>n_{+},\\&|c_{n}^{-}|<\epsilon /2,\quad \forall n>n_{-},\end{aligned}}}$

per tant

${\displaystyle l-\epsilon <l-\epsilon /2+c_{n}^{-}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l+\epsilon /2+c_{n}^{+}<l+\epsilon ,\quad \forall n>\max \lbrace \nu ,n_{\pm }\rbrace =:N>0,}$

que conclou la prova.

El cas amb ${\displaystyle (b_{n})}$ estrictament decreixent i divergent a ${\displaystyle -\infty }$, i ${\displaystyle l<\infty }$ és similar.

Cas 2: suposem que ${\displaystyle (b_{n})}$ estrictament creixent i divergent a ${\displaystyle +\infty }$ i ${\displaystyle l=+\infty }$. Seguint com abans, per a tots els ${\displaystyle 2M>0}$ hi ha ${\displaystyle \nu >0}$ de manera que per a tots els ${\displaystyle n>\nu }$

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2M.}$

De nou, aplicant la desigualtat anterior a cadascun dels termes dins dels claudàtors obtenim

${\displaystyle a_{n}>2M(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1},\quad \forall n>\nu ,}$

i

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+{\frac {a_{\nu +1}-2Mb_{\nu +1}}{b_{n}}},\quad \forall n>\max\{\ nu,n_{0}\}.}$

La successió ${\displaystyle (c_{n})_{n>n_{0}}}$ definida per

${\displaystyle c_{n}:={\frac {a_{\nu +1}-2Mb_{\nu +1}}{b_{n}}}}$

és infinitesimal, per tant

${\displaystyle \forall M>0\,\exists {\bar {n}}>n_{0}>0{\text{ tal que }}-M<c_{n}<M,\,\forall n>{\bar {n}},}$

combinant aquesta desigualtat amb l'anterior concloem

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{n}>M,\quad \forall n>\max\{\nu ,{\bar {n}}\}=:N.}$

Les demostracions dels altres casos amb ${\displaystyle (b_{n})}$ estrictament creixent o decreixent i s'acosten a ${\displaystyle +\infty }$ o ${\displaystyle -\infty }$ respectivament i ${\displaystyle l=\pm \infty }$ tots procedeixen de la mateixa manera.

Cas 1: primer considerem el cas amb ${\displaystyle l<\infty }$ i ${\displaystyle (b_{n})}$ estrictament decreixents. Aquesta vegada, per cada ${\displaystyle \nu >0}$, podem escriure

${\displaystyle a_{n}=(a_{n}-a_{n+1})+\dots +(a_{n+\nu -1}-a_{n+\nu })+a_{n+\nu },}$

i per a qualsevol ${\displaystyle \epsilon /2>0,}$ ${\displaystyle \exists n_{0}}$ de manera que per a tots els ${\displaystyle n>n_{0}}$ tenim

${\displaystyle {\begin{aligned}&(l-\epsilon /2)(b_{n}-b_{n+\nu })+a_{n+\nu }=(l-\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n+1})+\dots +(b_{n+\nu -1}-b_{n+\nu })]+a_{n+\nu }<a_{n}\\&a_{n}<(l+\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n+1})+\dots +(b_{n+\nu -1}-b_{n+\nu })]+a_{n+\nu }=(l+\epsilon /2)(b_{n}-b_{n+\nu })+a_{n+\nu }.\end{aligned}}}$

Les dues successions

${\displaystyle c_{\nu }^{\pm }:={\frac {a_{n+\nu }-b_{n+\nu }(l\pm \epsilon /2)}{b_{n}}}}$

són infinitesimals ja que per hipòtesi ${\displaystyle a_{n+\nu },b_{n+\nu }\to 0}$ amb ${\displaystyle \nu \to \infty }$, per tant, per a tots els ${\displaystyle \epsilon /2>0}$ hi ha ${\displaystyle \nu _{\pm }>0}$ de tal manera que

${\displaystyle {\begin{aligned}&|c_{\nu }^{+}|<\epsilon /2,\quad \forall \nu >\nu _{+},\\&|c_{\nu }^{-}|<\epsilon /2,\quad \forall \nu >\nu _{-},\end{aligned}}}$

així, escollint ${\displaystyle \nu }$ adequadament (és a dir, agafant el límit respecte a ${\displaystyle \nu }$) obtenim

${\displaystyle l-\epsilon <l-\epsilon /2+c_{\nu }^{-}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l+\epsilon /2+c_{\nu }^{+}<l+\epsilon ,\quad \forall n>n_{0}}$

que conclou la prova.

Cas 2: suposem que ${\displaystyle l=+\infty }$ i ${\displaystyle (b_{n})}$ estan estrictament decreixents. Per a tots els ${\displaystyle 2M>0}$ existeix ${\displaystyle n_{0}>0}$ de manera que per a tots els ${\displaystyle n>n_{0},}$

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2M\implies a_{n}-a_{n+1}>2M(b_{n}-b_{n+1}).}$

Per tant, per a cada ${\displaystyle \nu >0,}$

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+{\frac {a_{n+\nu }-2Mb_{n+\nu }}{b_{n}}},\quad \forall n>n_{0}.}$

La successió

${\displaystyle c_{\nu }:={\frac {a_{n+\nu }-2Mb_{n+\nu }}{b_{n}}}}$

convergeix a ${\displaystyle 0}$ (mantenint ${\displaystyle n}$ fixa). Per tant

${\displaystyle \forall M>0\,~\exists {\bar {\nu }}>0}$ de manera que ${\displaystyle -M<c_{\nu }<M,\,\forall \nu >{\bar {\nu }},}$

i, escollint ${\displaystyle \nu }$ convenientment, concloem la demostració

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{\nu }>M,\quad \forall n>n_{0}.}$

El teorema sobre el cas ${\displaystyle \cdot /\infty }$ té unes quantes conseqüències notables que són útils en el càlcul de límits.

Sigui ${\displaystyle (x_{n})}$ una successió de nombres reals que convergeix a ${\displaystyle l}$, definim

${\displaystyle a_{n}:=\sum _{m=1}^{n}x_{m}=x_{1}+\dots +x_{n},\quad b_{n}:=n}$

aleshores ${\displaystyle (b_{n})}$ és estrictament creixent i divergeix a ${\displaystyle +\infty }$. Calculem

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n+1}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=l}$

per tant

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.}$

Donada qualsevol successió ${\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}}$ de nombres reals, suposem que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$

(finit o infinit), llavors existeix

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.}$

Sigui ${\displaystyle (x_{n})}$ una successió de nombres reals positius que convergeixen a ${\displaystyle l}$ i definim

${\displaystyle a_{n}:=\log(x_{1}\cdots x_{n}),\quad b_{n}:=n,}$

tornem a calcular

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\log {\Big (}{\frac {x_{1}\cdots x_{n+1}}{x_{1}\cdots x_{n}}}{\Big )}=\lim _{n\to \infty }\log(x_{n+1})=\lim _{n\to \infty }\log(x_{n})=\log(l),}$

on hem utilitzat el fet que el logaritme és continu. Així

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\log(x_{1}\cdots x_{n})}{n}}=\lim _{n\to \infty }\log {\Big (}(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n}}{\Big )}=\log(l),}$

com que el logaritme és alhora continu i injectiu podem concloure que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$.

Donada qualsevol successió ${\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}}$ de nombres reals (estrictament) positius, suposem que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$

existeix (finit o infinit), doncs

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.}$

Suposem que se'ns dona una successió ${\displaystyle (y_{n})_{n\geq 1}}$ i se'ns demana que calculem

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}},}$

definint ${\displaystyle y_{0}=1}$ i ${\displaystyle x_{n}=y_{n}/y_{n-1}}$ obtenim

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {y_{1}\dots y_{n}}{y_{0}\cdot y_{1}\dots y_{n-1}}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}},}$

si apliquem la propietat anterior

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n}}{y_{n-1}}}.}$

Aquesta última forma sol ser la més útil per calcular límits

Donada qualsevol successió ${\displaystyle (y_{n})_{n\geq 1}}$ de nombres reals (estrictament) positius, suposem que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n+1}}{y_{n}}}}$

existeix (finit o infinit), doncs

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n+1}}{y_{n}}}.}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{n}}=1.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt[{n}]{n!}}{n}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)!(n^{n})}{n!(n+1)^{n+1}}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{n}}{(n+1)^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{(1+{\frac {1}{n}})^{n}}}={\frac {1}{e}}\end{aligned}}}$

on hem utilitzat la representació de ${\displaystyle e}$ com a límit d'una successió.

El cas ∞/∞ està enunciat i provat a les pàgines 173-175 del llibre de Stolz de 1885^[2] i també a la pàgina 54 de l'article de Cesàro de 1888.^[3]

Apareix com el problema 70 a [Pólya, Szegő 1925].^[4]

La forma general del teorema de Stolz–Cesàro és la següent:^[5] Si ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ i ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$ són dues successions tals que ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$ és monòton i no fitat:

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}.}$

En lloc de demostrar l'afirmació anterior, en demostrarem una lleugerament diferent; primer introduïm una notació: sigui ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ qualsevol successió, la seva suma parcial es denotarà per ${\displaystyle A_{n}:=\sum _{m\geq 1}^{n}a_{m}}$. L'enunciat equivalent que demostrarem és:

Siguin ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1},(b_{n})_{\geq 1}}$ dues successions qualsevol de nombres reals tals que

• ${\displaystyle b_{n}>0,\quad \forall n\in {\mathbb {Z} }_{>0}}$,
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }B_{n}=+\infty }$,

llavors

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}.}$

Primer observem que:

• ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}}$ sosté per definició de límit superior i límit inferior;
• ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}}$ es manté si i només si ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ perquè ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=-\limsup _{n\to \infty }(-x_{n})}$ per a qualsevol successió ${\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}}$.

Per tant, només hem de demostrar que ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$. Si ${\displaystyle L:=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty }$ no hi ha res a demostrar, per tant podem suposar ${\displaystyle L<+\infty }$ (pot ser finit o ${\displaystyle -\infty }$). Per definició de ${\displaystyle \limsup }$, per a tot ${\displaystyle l>L}$ hi ha un nombre natural ${\displaystyle \nu >0}$ de tal manera que

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l,\quad \forall n>\nu .}$

Podem utilitzar aquesta desigualtat per escriure

${\displaystyle A_{n}=A_{\nu }+a_{\nu +1}+\dots +a_{n}<A_{\nu }+l(B_{n}-B_{\nu }),\quad \forall n>\nu ,}$

Perquè ${\displaystyle b_{n}>0}$, també tenim ${\displaystyle B_{n}>0}$ i podem dividir per ${\displaystyle B_{n}}$ per aconseguir

${\displaystyle {\frac {A_{n}}{B_{n}}}<{\frac {A_{\nu }-lB_{\nu }}{B_{n}}}+l,\quad \forall n>\nu .}$

A partir que ${\displaystyle B_{n}\to +\infty }$ amb ${\displaystyle n\to +\infty }$, la successió

${\displaystyle {\frac {A_{\nu }-lB_{\nu }}{B_{n}}}\to 0{\text{ amb }}n\to +\infty {\text{ (mantenint }}\nu {\text{ fix)}},}$

i obtenim

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq l,\quad \forall l>L,}$

Per definició de límit superior mínim, això significa precisament això

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq L=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}},}$

i hem acabat.

Ara, prenem ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n})}$ com en l'enunciat de la forma general del teorema de Stolz-Cesàro i definim

${\displaystyle \alpha _{1}=a_{1},\alpha _{k}=a_{k}-a_{k-1},\,\forall k>1\quad \beta _{1}=b_{1},\beta _{k}=b_{k}-b_{k-1}\,\forall k>1}$

a partir que ${\displaystyle (b_{n})}$ és estrictament monòton (podem suposar que augmenta estrictament, per exemple), ${\displaystyle \beta _{n}>0}$ per a tot ${\displaystyle n}$ i a partir que ${\displaystyle b_{n}\to +\infty }$ també ${\displaystyle \mathrm {B} _{n}=b_{1}+(b_{2}-b_{1})+\dots +(b_{n}-b_{n-1})=b_{n}\to +\infty }$, així podem aplicar el teorema que acabem de demostrar ${\displaystyle (\alpha _{n}),(\beta _{n})}$ (i les seves sumes parcials ${\displaystyle (\mathrm {A} _{n}),(\mathrm {B} _{n})}$)

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\mathrm {A} _{n}}{\mathrm {B} _{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}},}$

que és exactament el que volíem demostrar.