Teorema de Xarkovski

Aquest article o secció necessita millorar una traducció deficient. Podeu col·laborar-hi si coneixeu prou la llengua d'origen. També podeu iniciar un fil de discussió per consultar com es pot millorar. Elimineu aquest avís si creieu que està solucionat raonablement.

Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat.

En matemàtiques, el teorema de Xarkovski, anomenat en honor d'Oleksandr Xarkovski, que el publicà el 1964, és un resultat sobre sistemes dinàmics discrets.^[1] Una de les implicacions del teorema és que si un sistema dinàmic discret a la línia dels reals té un punt periòdic de període 3, llavors ha de tenir punts periòdics de cada altre període.

Sigui una aplicació contínua ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ Si aquesta funció té un punt periòdic de període k, llavors té punts periòdics de tots els períodes inferiors a k segons l'ordre "<<" següent:

Aquest teorema és òptim, és a dir, si m << k segons l'ordre precedent, existeixen aplicacions contínues amb punts periòdics de període m però sense punt periòdic de període k. En particular, una funció que presenta un punt x periòdic d'ordre tres, és a dir tal que:

${\displaystyle f^{3}(x):=f\circ f\circ f(x)=x}$

on \circ és la composició de les funcions, llavors presentarà punts periòdics de qualsevol ordre:

${\displaystyle f^{n}(x):=f\circ f\circ ...\circ f(x)=x}$

Es diu que el període tres implica el caos, i aquesta propietat és fonamental en la teoria del caos.

Aquest corol·lari rep el nom de Teorema de Li i Yorke, matemàtics que van redescobrir als Estats Units part del teorema rus, que havia passat totalment inadvertit a Occident.

L'exemple fonamental és f(x)= a·x·(1 - x), amb x en l'interval [ 0; 1], i a en [0; 4]. Quan a creix de 0 a 4, van apareixent punts periòdics d'ordre 2, després 4, després 8, 16, ... i finalment 3.

En les abcises hi ha el paràmetre a. El període 3 a pareix per a alguna cosa que 3,8, just en sortir de la zona caòtica (en gris).

El teorema utilitza el que R és totalment ordenat i unidimensional, no s'aplica als nombres complexos:

La funció f :C →C definida per ${\displaystyle f(z)=e^{2i\pi /3}z}$ és tal que tots els punts del pla són periòdics d'ordre 3, però de cap altre ordre (excepte 0 que és d'ordre 1) - f és una rotació d'angle 120 graus o 2·π/3 radiants i no existeix equivalents de les rotacions en una dimensió.