Absolutní spojitost funkce je pojem matematické analýzy, který dále zesiluje stejnoměrnou spojitost. Na rozdíl od ní se ale neomezuje na jeden dostatečně malý interval a velikost jeho obrazu, nýbrž klade nároky i na systémy (malých) intervalů.
Definice
Funkci
označíme jako absolutně spojitou na intervalu
, jestliže k libovolnému
existuje takové
, že pro každý systém intervalů
, pro který je
, a
platí
.
Prostor všech absolutně spojitých funkcí na intervalu
značíme
Příklady
- Spojitost neimplikuje absolutní spojitost - Cantorova funkce je spojitá, ale není absolutně spojitá.
- Stejnoměrná spojitost neimplikuje absolutní spojitost - Cantorova funkce je stejnoměrně spojitá, ale není absolutně spojitá.
je absolutně spojitá.
Ekvivalentní definice
je absolutně spojitá na
právě tehdy, když
je rozdílem dvou neklesajících spojitých funkcí
taková, že ![{\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}g(t)\mathrm {dt} {\mbox{ }}\forall x\in (a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fe722c18e40146acd17025c7c2cacc68d5debb1)
taková, že ![{\displaystyle |f(d)-f(c)|\leq \int _{c}^{d}h(t)\mathrm {dt} {\mbox{ }}\forall \langle c,d\rangle \subset \langle a,b\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/220a8a8d5807211c47b032f2f01bf540be70eeea)
Vlastnosti
- Součet a rozdíl dvou absolutně spojitých funkcí je také absolutně spojitý.
- Každá absolutně spojitá funkce je stejnoměrně spojitá a tedy spojitá.
- Každá lipschitzovská funkce je absolutně spojitá
- Absolutně spojitá funkce f má derivaci skoro všude a platí:
![{\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\mathrm {dt} {\mbox{ }}\forall x\in \langle a,b\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86ea372ec4998f1ec2b8952ed51b4b63f08c02fb)
- pokud
a
, pak
je absolutně spojitá na ![{\displaystyle \langle a,b\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f9c6fc93d2e4195b610bc8a9ff366be4485387)
Související články