Absolutně spojitá funkce

Absolutní spojitost funkce je pojem matematické analýzy, který dále zesiluje stejnoměrnou spojitost. Na rozdíl od ní se ale neomezuje na jeden dostatečně malý interval a velikost jeho obrazu, nýbrž klade nároky i na systémy (malých) intervalů.

Definice

Funkci f ( x ) {\displaystyle f(x)} označíme jako absolutně spojitou na intervalu ⟨ a , b ⟩ {\displaystyle \langle a,b\rangle } , jestliže k libovolnému ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} existuje takové δ > 0 {\displaystyle \delta >0} , že pro každý systém intervalů ⟨ a 1 , b 1 ⟩ , ⟨ a 2 , b 2 ⟩ , … , ⟨ a n , b n ⟩ {\displaystyle \langle a_{1},b_{1}\rangle ,\langle a_{2},b_{2}\rangle ,\,\dots ,\langle a_{n},b_{n}\rangle } , pro který je a ≤ a 1 ≤ b 1 ≤ a 2 ≤ b 2 ≤ ⋯ ≤ a n ≤ b n ≤ b {\displaystyle a\leq a_{1}\leq b_{1}\leq a_{2}\leq b_{2}\leq \cdots \leq a_{n}\leq b_{n}\leq b} , a ∑ i = 1 n ( b i − a i ) < δ {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})<\delta } platí ∑ i = 1 n | f ( b i ) − f ( a i ) | < ε {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|f(b_{i})-f(a_{i})|<\varepsilon } .

Prostor všech absolutně spojitých funkcí na intervalu ⟨ a , b ⟩ {\displaystyle \langle a,b\rangle } značíme A C ( a , b ) {\displaystyle AC(a,b)}

Příklady

  • Spojitost neimplikuje absolutní spojitost - Cantorova funkce je spojitá, ale není absolutně spojitá.
  • Stejnoměrná spojitost neimplikuje absolutní spojitost - Cantorova funkce je stejnoměrně spojitá, ale není absolutně spojitá.
  • f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} je absolutně spojitá.

Ekvivalentní definice

f {\displaystyle f} je absolutně spojitá na ⟨ a , b ⟩ {\displaystyle \langle a,b\rangle } právě tehdy, když

  • f ∈ L 1 ( a , b ) {\displaystyle f\in L^{1}(a,b)} je rozdílem dvou neklesajících spojitých funkcí
  • ∃ g ∈ L 1 ( a , b ) {\displaystyle \exists g\in L^{1}(a,b)} taková, že f ( x ) = ∫ a x g ( t ) d t   ∀ x ∈ ( a , b ) {\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}g(t)\mathrm {dt} {\mbox{ }}\forall x\in (a,b)}
  • ∃ h ∈ L 1 ( a , b ) {\displaystyle \exists h\in L^{1}(a,b)} taková, že | f ( d ) − f ( c ) | ≤ ∫ c d h ( t ) d t   ∀ ⟨ c , d ⟩ ⊂ ⟨ a , b ⟩ {\displaystyle |f(d)-f(c)|\leq \int _{c}^{d}h(t)\mathrm {dt} {\mbox{ }}\forall \langle c,d\rangle \subset \langle a,b\rangle }

Vlastnosti

  • Součet a rozdíl dvou absolutně spojitých funkcí je také absolutně spojitý.
  • Každá absolutně spojitá funkce je stejnoměrně spojitá a tedy spojitá.
  • Každá lipschitzovská funkce je absolutně spojitá
  • Absolutně spojitá funkce f má derivaci skoro všude a platí: f ( x ) = f ( a ) + ∫ a x f ′ ( t ) d t   ∀ x ∈ ⟨ a , b ⟩ {\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\mathrm {dt} {\mbox{ }}\forall x\in \langle a,b\rangle }
  • pokud f ∈ L 1 ( a , b ) {\displaystyle f\in L^{1}(a,b)} a F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t {\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\mathrm {dt} } , pak F {\displaystyle F} je absolutně spojitá na ⟨ a , b ⟩ {\displaystyle \langle a,b\rangle }

Související články