D'Alembertovo kritérium

D'Alembertovo kritérium, též nazývané podílové kritérium, je kritérium konvergence nekonečné řady, poprvé publikované Jeanem le Rond d'Alembertem.

Znění kritéria

Nechť ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} je nekonečná řada, nechť existuje limita L := lim n → ∞ | a n + 1 a n | . {\displaystyle L:=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|.}

Potom:

  • Pokud L < 1, řada absolutně konverguje.
  • Pokud L > 1, řada nekonverguje.
  • Pokud L = 1, d'Alembertovo kritérium není použitelné.

V případe, že limita lim n → ∞ | a n + 1 a n | {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|} neexistuje, je možné použít následující zevšeobecnění kritéria:

  • Pokud lim sup | a n + 1 a n | < 1 {\displaystyle \lim {\textrm {sup}}\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1} , řada absolutně konverguje.
  • Podmínka, že pro nekonečně mnoho n platí nerovnost | a n + 1 a n | > 1 {\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1} , není postačující pro rozhodnutí o divergenci či konvergenci řady.
  • Pokud neplatí ani jedna z předcházejících možností, kritérium není použitelné.

Případy, kdy L = 1

Pokud není d'Alembertovo kritérium použitelné (neboť L = 1), je možné vyzkoušet ještě některá další související, avšak jemnější kritéria.

(Limitní) Raabeovo kritérium

S tímto kritériem přišel Joseph Ludwig Raabe. Platí, že pokud ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} je nekonečná řada s kladnými členy a n {\displaystyle a_{n}} a

lim n → ∞ n ( 1 − a n a n + 1 ) = L , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\left(1-{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)=L,}

tak

  • Pokud L > 1 {\displaystyle L>1} (včetně L = ∞ {\displaystyle L=\infty } ), tak řada konverguje.
  • Pokud L < 1 {\displaystyle L<1} , řada diverguje.
  • Pokud L = 1 {\displaystyle L=1} , kritérium nelze použít.

(Obyčejné) Raabeovo kritérium

Pokud ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} je nekonečná řada s kladnými členy a n {\displaystyle a_{n}} a existují r ∈ R , r > 1 {\displaystyle r\in \mathbb {R} ,r>1} a n 0 ∈ N {\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} } taková, že pro n ≥ n 0 {\displaystyle n\geq n_{0}} platí n ( 1 − a n + 1 a n ) ≥ r > 1 {\displaystyle n\left(1-{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)\geq r>1} , tak řada konverguje.

Pokud naopak existuje n 0 ∈ N {\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} } takové, že pro n ≥ n 0 {\displaystyle n\geq n_{0}} platí n ( 1 − a n + 1 a n ) ≤ 1 {\displaystyle n\left(1-{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)\leq 1} , potom řada diverguje.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku D’Alembertovo kritérium na slovenské Wikipedii.

Související články