Eukleidova věta o výšce
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Euklidova_veta.svg/220px-Euklidova_veta.svg.png)
Jako Eukleidovy věty se označují matematické věty o délkách odvěsen a výšky pravoúhlého trojúhelníku. Jsou pojmenované po svém objeviteli, řeckém matematiku Eukleidovi. Jsou to:
- Eukleidova věta o výšce:
- Eukleidova věta o odvěsně (pro odvěsnu a):
- Eukleidova věta o odvěsně (pro odvěsnu b):
Pomocí Eukleidových vět je taky možné dokázat Pythagorovu větu a naopak pomocí Pythagorovy věty lze dokázat Eukleidovy věty.
Eukleidova věta o výšce
Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z obou úseků přepony.
Důkaz s využitím podobnosti trojúhelníků
Označíme-li P patu kolmice z bodu C na přeponu AB (viz označení na obrázku), z podobnosti trojúhelníků APC a CPB plyne:
Obě strany rovnice vynásobíme číslem a dostaneme Eukleidovu větu:
Důkaz z Pythagorovy věty
Z Pythagorovy věty plyne:
Rovnice sečteme:
Upravíme první 2 členy podle Pythagorovy věty:
Dosadíme :
Roznásobíme, odečteme a vydělíme dvěma:
Důkaz pomocí obsahů
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Eukleides_Vyska.svg/180px-Eukleides_Vyska.svg.png)
V pravoúhlém trojúhelníku ABC sestrojíme růžový čtverec nad výškou v a obdélník se stranami ca a cb. Doplníme obrázek do velkého pravoúhlého trojúhelníku. Velký trojúhelník je poskládán dvojím způsobem. Čtverec nad odvěsnou o obsahu je ve druhém rozkladu nahrazen obdélníkem o obsahu . Odtud růžové objekty musí mít stejný obsah.
Eukleidova věta o odvěsně
Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé.
Důkaz s využitím podobnosti trojúhelníků
Z podobnosti trojúhelníků ACB a CPB plyne:
Obě strany rovnice vynásobíme a dostaneme Eukleidovu větu:
Pro důkaz Euklidovy věty pro druhou odvěsnu bychom jen zaměnili body A a B, odvěsny a a b a části přepony ca a cb.
Důkaz z Pythagorovy věty
Vycházíme z toho, že platí Euklidova věta o výšce (důkaz viz výše). Z Pythagorovy věty plyne:
Pro druhou odvěsnu plyne z principu záměny (symetrie) odvěsen.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Eukleides_Odvesna.svg/220px-Eukleides_Odvesna.svg.png)
Tento důkaz nelze použít, pokud máme zároveň z Eukleidovy věty dokazovat Pythagorovu větu, protože se jednalo o důkaz kruhem. V takovém případě je nutné použít jiný důkaz Eukleidovy věty.
Důkaz pomocí obsahů
Pro zelený pravoúhlý trojúhelník ABC sestrojíme růžový čtverec nad odvěsnou b = AC a obdélník se stranami c a cb. Doplníme obrázek šedými pomocnými trojúhelníky. Obsah velkého trojúhelníku je poskládán dvojím způsobem. Čtverec nad odvěsnou o obsahu je nahrazen obdélníkem o obsahu .
Délka výšky
Na základě znalosti Eukleidových vět a daných délek stran a a b lze vypočítat délku výšky:
Příklad
Mějme pravoúhlý trojúhelník se stranami (v libovolných, ale shodných jednotkách). Vypočítejte výšku .
Platí:
Po dosazení do druhého vzorce:
Dopočet :
Po dosazení do prvního vzorce:
Výška tohoto trojúhelníku je přibližně 3,9.
Odkazy
Související články
Externí odkazy
Obrázky, zvuky či videa k tématu Eukleidova věta o výšce na Wikimedia Commons