Frobeniův skalární součin

V lineární algebře je Frobeniův skalární součin definován na vektorovém prostoru reálných nebo komplexních matic. Vypočítá se součinem prvků dvou matic po složkách a následným součtem všech dílčích součinů. V komplexním případě je jeden prvek vždy komplexně sdružený. Frobeniův skalární součin lze také vypočítat jako stopu maticového součinu dvou matic, přičemž jedna z matic je transponovaná, případně hermitovsky transponovaná.

Pomocí Frobeniova skalárního součinu se z prostoru matic stane unitární prostor, dokonce Hilbertův prostor. Norma odvozená z Frobeniova skalárního součinu se nazývá Frobeniova norma. Zobecněním Frobeniova skalárního součinu na nekonečně rozměrné vektorové prostory je Hilbertův-Schmidtův skalární součin. Frobeniův skalární součin se používá mimo jiné v mechanice kontinua při tenzorovém popisu deformace vektorových polí. Je pojmenován po německém matematikovi Ferdinandu Georgu Frobeniovi.

Frobeniův skalární součin dvou reálných, ne nutně čtvercových, matic ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ je definován výrazem:

${\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}}$

Jinými slovy, Frobeniův skalární součin získáme ze součinů odpovídajících složek obou daných matic a následným součtem všech těchto dílčích součinů. Odpovídá standardnímu skalárnímu součinu, pokud matice chápeme jako vektory dimenze ${\displaystyle mn}$. Frobeniův skalární součin dvou jednosloupcových matic jmenovitě odpovídá standardnímu skalárnímu součinu dvou vektorů.

Frobeniův skalární součin dvou komplexních matic ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ je dán výrazem:

${\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\overline {b_{ij}}}}$

Pruh značí komplexně sdružené číslo.

Lze se setkat i s definicí používající komplexně sdružená čísla pro prvky první matice, čili

${\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}{\overline {a_{ij}}}b_{ij}}$

ovšem takto definovaný součin není lineární vůči skalárním násobkům v první složce, ale ve druhé.

Ve fyzice se Frobeniův skalární součin dvou matic ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ někdy zapisuje ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\,\colon \,{\boldsymbol {B}}}$.

Jsou-li ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ reálné matice, pak je Frobeniův skalární součin součtem prvků Hadamardova součinu.

Jsou-li matice vektorizovány (tj. převedeny na sloupcové vektory, označené "${\displaystyle \operatorname {vec} }$"), pak pro

${\displaystyle \operatorname {vec} {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{12}\\\vdots \\a_{21}\\a_{22}\\\vdots \\a_{nm}\end{pmatrix}}}$ a ${\displaystyle \operatorname {vec} {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}b_{11}\\b_{12}\\\vdots \\b_{21}\\b_{22}\\\vdots \\b_{nm}\end{pmatrix}}}$ platí

${\displaystyle (\operatorname {vec} {\boldsymbol {A}})^{\mathrm {T} }{\overline {\operatorname {vec} {\boldsymbol {B}}}}=(a_{11},a_{12},\ldots ,a_{21},a_{22},\ldots ,a_{nm}){\begin{pmatrix}{\overline {b_{11}}}\\{\overline {b_{12}}}\\\ \vdots \\{\overline {b_{21}}}\\{\overline {b_{22}}}\\\vdots \\{\overline {b_{nm}}}\end{pmatrix}}}$

Odtud plyne přímo ${\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=(\operatorname {vec} {\boldsymbol {A}})^{\mathrm {T} }{\overline {\operatorname {vec} {\boldsymbol {B}}}}}$.

Frobeniova norma je norma přidružená k Frobeniovu skalárnímu součinu, neboli:

${\displaystyle \|{\boldsymbol {A}}\|_{\mathrm {F} }={\sqrt {\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }}}}$

Frobeniův skalární součin dvou reálných matic typu ${\displaystyle 2\times 3}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}2&0&6\\1&-1&2\end{pmatrix}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}8&-3&2\\4&1&-5\end{pmatrix}}}$

je roven

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }&=2\cdot 8+0\cdot (-3)+6\cdot 2+1\cdot 4+(-1)\cdot 1+2\cdot (-5)\\&=21\end{aligned}}}$

Pro dvě čtvercové komplexní matice řádu ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1+\mathrm {i} &-2\mathrm {i} \\3&-5\end{pmatrix}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}-2&3\mathrm {i} \\4-3\mathrm {i} &6\end{pmatrix}}}$

platí

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }&=(1+\mathrm {i} )\cdot (-2)+(-2\mathrm {i} )\cdot (-3\mathrm {i} )+3\cdot (4+3\mathrm {i} )+(-5)\cdot 6\\&=-26+7\mathrm {i} \end{aligned}}}$

zatímco

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }&=(-2)\cdot (1-\mathrm {i} )+3\mathrm {i} \cdot 2\mathrm {i} +(4-3\mathrm {i} )\cdot 3+6\cdot (-5)\\&=-26-7\mathrm {i} \end{aligned}}}$

Frobeniův skalární součin matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ se sebou samou a součin ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ se sebou samou jsou

${\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }=2+4+9+25=40}$ a ${\displaystyle \langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=4+9+25+36=74}$.

Komplexní Frobeniův skalární součin je seskvilineární forma, neboli lineární v prvním argumentu:

${\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }=\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }+\langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }}$   a   ${\displaystyle \langle c{\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=c\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }}$

a také semilineární v druhém argumentu, tedy.

${\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}+{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }=\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }+\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }}$   a   ${\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},c{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }={\overline {c}}\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }}$.

Dále je hermitovská forma, neboli

${\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }={\overline {\langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }}}}$,

a také pozitivně definitní:

${\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }\geq 0}$   a   ${\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }=0\Leftrightarrow {\boldsymbol {A}}=0}$.

Uvedené vlastnosti vyplývají přímo z komutativních a distributivních zákonů sčítání a násobení a z pozitivní definitnosti komplexní absolutní hodnoty ${\displaystyle |z|^{2}={\bar {z}}z}$.

Z komplexního případu bezprostředně plyne reálný případ, protože na ${\displaystyle \mathbb {R} }$ se každé číslo shoduje se svým komplexně sdruženým protějškem.

Reálný Frobeniův skalární součin má následující reprezentaci pomocí stopy matice

${\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {B}})=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} })}$,

kde ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}$ je matice transponovaná k ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$. Odpovídajícím způsobem platí pro komplexní Frobeniův skalární součin vztah:

${\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {B}})=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} })}$,

kde ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ je hermitovská transpozice matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.

Reálný Frobeniův skalární součin má následující vlastnost pro všechny ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{l\times m},{\boldsymbol {B}}\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}\in \mathbb {R} ^{l\times n}}$:

${\displaystyle \langle {\boldsymbol {AB}},{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {AB}})^{\mathrm {T} })=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} })=\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {CB}}^{\mathrm {T} }\rangle _{\mathrm {F} }=\langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }}$.

Odpovídajícím způsobem platí pro komplexní Frobeniův skalární součin pro všechny ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{l\times m},{\boldsymbol {B}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}\in \mathbb {C} ^{l\times n}}$:

${\displaystyle \langle {\boldsymbol {AB}},{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }=\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {CB}}^{\mathrm {H} }\rangle _{\mathrm {F} }=\langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }}$.

Obě vlastnosti vyplývají ze zachování stopy vzhledem k cyklickým permutacím součinu matic.

Vzhledem ke stopové reprezentaci a vlastnosti posunutí platí následující pro reálný Frobeniův skalární součin dvou matic ${\displaystyle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$

${\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\langle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} },{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {T} }\rangle _{\mathrm {F} }}$ .

Pro komplexní Frobeniův skalární součin dvou matic ${\displaystyle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ platí obdobně následující.

${\displaystyle {\overline {\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }}}=\langle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} },{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }\rangle _{\mathrm {F} }}$ .

Frobeniova norma je invariantní při unitárních transformacích a platí pro ni Cauchyho-Schwarzova nerovnost.

${\displaystyle |\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }|\leq \|{\boldsymbol {A}}\|_{\mathrm {F} }\,\|{\boldsymbol {B}}\|_{\mathrm {F} }}$.

Z nerovnosti vyplývá odhad

${\displaystyle |\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }|^{2}\leq \operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}})\cdot \operatorname {tr} ({\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {B}})}$.

V případě reálných matic je hermitovská transpozice nahrazena prostou transpozicí.

Jsou-li ${\displaystyle \sigma _{1}({\boldsymbol {A}}),\ldots ,\sigma _{r}({\boldsymbol {A}})}$ singulární hodnoty ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a ${\displaystyle \sigma _{1}({\boldsymbol {B}}),\ldots ,\sigma _{r}({\boldsymbol {B}})}$ singulární hodnoty ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ s ${\displaystyle r=\min\{m,n\}}$, pak pro Frobeniův skalární součin platí odhad

${\displaystyle |\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }|\leq \sum _{i=1}^{r}\sigma _{i}({\boldsymbol {A}})\sigma _{i}({\boldsymbol {B}})\leq \|{\boldsymbol {A}}\|_{\mathrm {F} }\,\|{\boldsymbol {B}}\|_{\mathrm {F} }}$,

Uvedený odhad zesiluje Cauchyho-Schwarzovu nerovnost.^[1]

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Frobenius-Skalarproduct na německé Wikipedii a Frobenius inner product na anglické Wikipedii.

• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 

• Bilineární forma
• Cauchyho-Schwarzova nerovnost
• Norma
• Skalární součin
• Stopa matice