Galoisova grupa

Galoisova grupa je pojem z algebry. Je to grupa definována pro těleso a jeho konečné rozšíření. Studium rozšíření těles pomocí Galoisovy grupy souvisí s Galoisovou teorií, která vznikla jako nástroj pro popis řešení polynomiálních rovnic. Historicky stál u zrodu této teorie Évariste Galois, který je považován za zakladatele teorie grup.

Nechť ${\displaystyle E}$ je rozšíření tělesa ${\displaystyle F}$ (zapisuje se jako ${\displaystyle E/F}$). Automorfizmus ${\displaystyle E/F}$ je takový automorfizmus ${\displaystyle \alpha }$ tělesa ${\displaystyle E}$, který zachovává všechny prvky ${\displaystyle F}$, tj. ${\displaystyle \alpha (x)=x}$ pro každé ${\displaystyle x\in F}$. Množina všech automorfizmů ${\displaystyle E/F}$ spolu s operací skládání tvoří grupu, která se nazývá Galoisova grupa. Značí se ${\displaystyle Gal(E/F)}$, anebo ${\displaystyle Aut(E/F)}$.

• ${\displaystyle Gal(\mathbb {C} /\mathbb {R} )}$ obsahuje dva prvky: identitu a komplexní sdružení.
• Nechť ${\displaystyle F=\mathbb {Q} }$ je těleso racionálních čísel a ${\displaystyle E=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\{a+b{\sqrt {2}};\,\,a,b\in \mathbb {Q} \}}$. Pak ${\displaystyle Gal(E/F)}$ obsahuje identitu a zobrazení ${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}\mapsto a-b{\sqrt {2}}}$.
• Nechť ${\displaystyle p}$ je prvočíslo a ${\displaystyle E=GF(p^{n})}$ je Galoisovo těleso o ${\displaystyle p^{n}}$ prvcích, ${\displaystyle F\simeq GF(p)}$ jeho nejmenší podtěleso. Pak ${\displaystyle Gal(E/F)}$ je cyklická grupa řádu ${\displaystyle p}$.
• Nechť ${\displaystyle p}$ je ireducibilní polynom s racionálními koeficienty stupně ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle E}$ jeho rozkladové těleso a nechť ${\displaystyle p}$ má v ${\displaystyle E}$ právě dva nereálné kořeny. Pak ${\displaystyle Gal(E/F)}$ (někdy se také nazývá Galoisova grupa polynomu ${\displaystyle p}$) je izomorfní symetrické grupě ${\displaystyle S_{n}}$. Její prvky permutují kořeny polynomu ${\displaystyle p}$.

Fundamentální věta Galoisovy teorie tvrdí, že podgrupy Galoisovy grupy odpovídají mezitělesům ${\displaystyle F\subseteq X\subseteq E}$.^[1] Tato korespondence přiřadí podgrupě ${\displaystyle H}$ podtěleso ${\displaystyle E}$, které je fixováno touto podgrupou.

V případě nekonečného rozšíření ${\displaystyle E/F}$ uvažujeme v této korespondenci pouze uzavřené podgrupy vůči tzv. Krollově topologii.

Galoisovy grupy se začaly zkoumat v souvislosti se snahou řešit polynomiální rovnice vyššího stupně pomocí sčítání, odčítání, násobení, dělení a odmocnin racionálních čísel a koeficientů daného polynomu. Takové řešení existuje právě když Galoisova grupa polynomu je řešitelná.

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.