Hadamardova nerovnost

Hadamardova nerovnost je označení pro matematickou nerovnost poprvé zveřejněnou Jacquesem Hadamardem v 1893 a vymezující maximální možnou hodnotu determinantu matice složené z komplexních vektorů. V případě reálných čísel ji je možné v n-rozměrném eukleidovském prostoru interpretovat jako horní mez maximálního možného objemu rovnoběžnostěnu vymezeného n vektory ${\displaystyle v_{i}}$ vzhledem k jejich délkám ${\displaystyle ||v_{i}||}$.

Hadamardova nerovnost říká, že pokud je V matice se sloupci ${\displaystyle v_{i}}$, pak

${\displaystyle |\det(V)|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|,}$

a rovnosti je dosaženo pouze v těch případech, kdy jsou na sebe vektory kolmé a nebo je některý ze sloupců roven nulovému vektoru.

Jedním z důsledků je, že pokud jsou prvky čtvercové matice ${\displaystyle V}$ řádu ${\displaystyle n}$ menší nebo rovny mezi ${\displaystyle B}$, tedy ${\displaystyle |V_{ij}|\leq B}$ pro všechna ${\displaystyle i,j}$, pak

${\displaystyle |\det(V)|\leq B^{n}n^{n/2}.}$

Jsou-li speciálně prvky matice rovny jen +1 a −1, pak

${\displaystyle |\det(V)|\leq n^{n/2}.}$

Matice, pro které v tomto případě platí rovnost, se nazývají Hadamardovy matice.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Hadamard's inequality na anglické Wikipedii.