Kořen (matematika)

Kořenem funkce ${\displaystyle f}$ se v matematice nazývá takový prvek a z definičního oboru funkce ${\displaystyle f}$, v němž funkce ${\displaystyle f}$ nabývá nulové hodnoty. Přesněji kořenem funkce je každá hodnota ${\displaystyle a}$ splňující rovnici ${\displaystyle f}$(${\displaystyle a}$) = 0.

Pro nejběžnější případ, kdy je definiční obor funkce ${\displaystyle f}$ podmnožinou komplexních resp. reálných čísel, je kořen bod, v němž graf funkce ${\displaystyle f}$ protíná komplexní rovinu resp. osu ${\displaystyle x}$ souřadnicového systému.

Polynom jedné proměnné stupně ${\displaystyle n}$ s komplexními koeficienty chápaný jako funkce může mít nejvýše ${\displaystyle n}$ různých komplexních kořenů. Je-li ${\displaystyle a}$ kořenem polynomu ${\displaystyle P(x)}$, pak ${\displaystyle (x-a)}$dělí ${\displaystyle P(x)}$ a tedy ${\displaystyle {\frac {P(x)}{(x-a)}}}$ je polynom stupně ${\displaystyle n-1}$.^[1]

Podle základní věty algebry má každý polynom jedné proměnné stupně ${\displaystyle n}$ s komplexními koeficienty v komplexních číslech právě ${\displaystyle n}$ kořenů, je-li každý počítán ve své násobnosti. Uvažujeme-li polynom nad reálnými čísly, pak tato situace nemusí obecně platit – např. polynom ${\displaystyle x^{2}+1}$ nemá řešení v oboru reálných čísel.

Řešení: ${\displaystyle x^{2}+1=0;}$ ${\displaystyle x^{2}=-1}$; ${\displaystyle x=\pm i}$ .

Je-li lineární polynom (${\displaystyle P(x)=ax+b;}$ kde ${\displaystyle a\neq 0,b}$ jsou reálná nebo komplexní čísla, pak jeho kořenem je číslo ${\displaystyle x_{0}=-{\frac {b}{a}}}$.

Pro kvadratický polynom (${\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}$), existují obecně dva kořeny ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$.

Příklad1: rovnice v součinném tvaru ${\displaystyle (2x+1)(x-3)=0}$

řešení:

${\displaystyle 2x+1=0\Rightarrow x_{1}=-{\frac {1}{2}}}$;

${\displaystyle x-3=0\Rightarrow x_{2}=3}$

Pro výpočet kořenů kubického polynomu lze použít např. Cardanovy vzorce nebo Hornerovo schéma.^[2]

Příklad2: ${\displaystyle x^{3}+3x^{2}+2x+6=0}$ , hledané řešení: ${\displaystyle x\in R}$

${\displaystyle x^{3}+3x^{2}+2x+6=0=(x-a)(x^{2}+px+q)}$ , kde ${\displaystyle a}$ je kořen a ${\displaystyle p,q\in R}$,

po roznásobení pravé strany a úpravě vytýkáním, vznikne rovnice:

${\displaystyle x^{3}+3x^{2}+2x+6=0=x^{3}+(p-a)x^{2}+(q-ap)x-aq}$

porovnáním koeficientů u stejné mocniny ${\displaystyle x}$ vznikne soustava tří rovnic o třech neznámých:

${\displaystyle 3=p-a}$

${\displaystyle 2=q-ap}$

${\displaystyle 6=-aq}$

Vyřešené hodnoty ${\displaystyle a=-3;p=0;q=2}$ lze dosadit do rovnice

${\displaystyle x^{3}+3x^{2}+2x+6=0=x^{3}+(p-a)x^{2}+(q-ap)x-aq=(x+3)(x^{2}+2)}$

vyřešením rovnic v součinném tvaru je kořen rovnice pouze číslo ${\displaystyle x_{1}=-3}$, kvadratická rovnice ${\displaystyle x^{2}+2=0}$ nemá v oboru ${\displaystyle R}$ řešení.

Najdeme-li dva body ${\displaystyle x_{1}}$ a ${\displaystyle x_{2}}$, pro které platí ${\displaystyle \operatorname {sgn}(P(x_{1}))=-\operatorname {sgn}(P(x_{2}))}$, kde ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ značí znaménkovou funkci signum (${\displaystyle P(x_{1})P(x_{2})<0}$), pak existuje alespoň jeden kořen v intervalu ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$, (viz Bolzanova věta). Tento kořen lze najít metodou půlení intervalů nebo metodou tečen.

• Funkce ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ (viz Eulerovo číslo) nemá v reálných ani komplexních číslech kořen.
• Funkce ${\displaystyle f(x)=sin(x)}$ (viz sinus) má nekonečně mnoho kořenů (je periodická) , a to právě čísla tvaru kπ, kde π je Ludolfovo číslo a k libovolné celé číslo.

Řešené příklady(německy)