Modul (matematika)

Modul v matematice (zejména v algebře) představuje určitým způsobem zobecnění vektorového prostoru. Zatímco definice vektorového prostoru vyžaduje, aby skaláry byly prvky tělesa, v případě modulu stačí, že skaláry jsou prvky okruhu.

Moduly mají mnoho vlastností podobných vektorovým prostorům, ale například nemusí mít bázi. A i pokud ji mají (takové moduly nazýváme volné), pak nemusí mít tato báze jednoznačně daný počet prvků.

S modulem nesouvisí operace modulo čili zbytek po dělení.

Levý R-modul nad okruhem ${\displaystyle R}$ je tvořen abelovou grupou ${\displaystyle (M,+)}$ a operací ${\displaystyle R\times M\to M}$ (které říkáme skalární násobení), které splňují, že pro všechna ${\displaystyle r,s}$ z ${\displaystyle R}$ a ${\displaystyle x,y}$ z M platí:

1. ${\displaystyle r(x+y)=rx+ry}$
2. ${\displaystyle (r+s)x=rx+sx}$
3. ${\displaystyle (rs)x=r(sx)}$
4. ${\displaystyle 1x=x}$

Definice pravého R-modulu je analogická, ale jako skalární operace se uvažuje ${\displaystyle M\times R\to M}$. Je-li ${\displaystyle R}$ komutativní okruh, pak definice splývají a struktura bývá nazývána pouze R-modul.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Module (mathematics) na anglické Wikipedii.