Poissonova závorka označuje matematický výraz používaný v matematice a klasické mechanice (konkrétně v Hamiltonovské mechanice ), kde se využívá k popisu časového vývoje dynamického systému . V matematice se Poissonova závorka používá k definici Poissonovy algebry (příkladem Poissonovy algebry je Poissonova varieta).
Poissonova závorka je pojmenována po Siméonu-Denisi Poissonovi .
Vyjádření v kanonických souřadnicích Mějme ve fázovém prostoru s kanonickými souřadnicemi ( q i , p j ) {\displaystyle (q_{i},p_{j})} dvě funkce f ( p i , q i , t ) {\displaystyle f(p_{i},q_{i},t)\,} a g ( p i , q i , t ) {\displaystyle g(p_{i},q_{i},t)\,} . Poissonova závorka má pak tvar
{ f , g } = { f , g } p , q = ∑ i = 1 N [ ∂ f ∂ q i ∂ g ∂ p i − ∂ f ∂ p i ∂ g ∂ q i ] . {\displaystyle \{f,g\}=\{f,g\}_{p,q}=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right].} Lze dokázat, že hodnota Poissonovy závorky { f , g } {\displaystyle \{f,g\}} je invariantní vůči kanonickým transformacím, tzn.
{ f , g } p , q = { f , g } P , Q {\displaystyle \{f,g\}_{p,q}=\{f,g\}_{P,Q}} Není tedy nutno uvádět, ke kterým kanonickým souřadnicím se Poissonova závorka vztahuje.
Vlastnosti Poissonovy závorky splňují následující vztahy
{ f , g } = − { g , f } {\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}} Poissonova závorka je tedy antikomutativní. Speciálním případem tohoto vztahu je
{ f , f } = 0 {\displaystyle \{f,f\}=0} Dále platí
{ ( f 1 + f 2 ) , g } = { f 1 , g } + { f 2 , g } {\displaystyle \{(f_{1}+f_{2}),g\}=\{f_{1},g\}+\{f_{2},g\}} { ( f 1 f 2 ) , g } = f 1 { f 2 , g } + f 2 { f 1 , g } {\displaystyle \{(f_{1}f_{2}),g\}=f_{1}\{f_{2},g\}+f_{2}\{f_{1},g\}} Platí také tzv. Jacobiho identita
{ f , { g , h } } + { g , { h , f } } + { h , { f , g } } = 0 {\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0} Pro časovou derivaci Poissonovy závorky platí
∂ ∂ t { f , g } = { ∂ f ∂ t , g } + { f , ∂ g ∂ t } {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\{f,g\}=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}},g\right\}+\left\{f,{\frac {\partial g}{\partial t}}\right\}}
Fyzikální aplikace
Rovnice pohybu S využitím Hamiltonových kanonických rovnic lze pro totální časovou derivaci funkce f psát
d f d t = ∂ f ∂ t + ∂ f ∂ q d q d t + ∂ f ∂ p d p d t = ∂ f ∂ t + ∂ f ∂ q ∂ H ∂ p − ∂ f ∂ p ∂ H ∂ q = ∂ f ∂ t + { f , H } {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\{f,H\}} , Kde H {\displaystyle H} je Hamiltonova funkce. Funkce f {\displaystyle f} je tedy integrálem pohybových rovnic tehdy, pokud platí
∂ f ∂ t + { f , H } = 0 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+\{f,H\}=0} V případě, že f {\displaystyle f} nezávisí explicitně na čase, zjednoduší se předchozí rovnice na tvar
{ f , H } = 0 {\displaystyle \{f,H\}=0} Zvolíme-li za funkci f {\displaystyle f} Hamiltonovu funkci H {\displaystyle H} , pak podle bude platit
d H d t = ∂ H ∂ t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial H}{\partial t}}} Podle tohoto vztahu se tedy Hamiltonova funkce zachovává tehdy, když nezávisí explicitně na čase.
Platí, že jsou-li funkce f , g integrály pohybových rovnic, je integrálem pohybových rovnic také Poissonova závorka { f , g } {\displaystyle \{f,g\}} .
Fundamentální Poissonova závorka Důležitými Poissonovými závorkami jsou takové závorky, v nichž roli f a g hrají souřadnice a hybnosti. Někdy se také hovoří o fundamentální Poissonově závorce .
Takové Poissonovy závorky lze pak vyjádřit vztahy
{ Q i , P j } = δ i j {\displaystyle \{Q_{i},P_{j}\}=\delta _{ij}} { Q i , Q j } = 0 {\displaystyle \{Q_{i},Q_{j}\}=0} { P i , P j } = 0 {\displaystyle \{P_{i},P_{j}\}=0} kde δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} je Kroneckerovo delta.
Související články Pahýl Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.