Redukovaný okruh

Redukovaný okruh je takový okruh, který nemá žádné nilpotentní prvky kromě absorpčního prvku. Tento typ okruhů hraje roli zejména v komutativní algebře a v algebraické geometrii.

Je možných několik jednoduchých ekvivalentních definic:

• Okruh ${\displaystyle R}$ je redukovaný, právě když ${\displaystyle \forall r\in R:r^{n}=0\Leftrightarrow r=0}$
• Okruh ${\displaystyle R}$ je redukovaný, právě když je jeho nilradikál roven nulovému ideálu, neboli ${\displaystyle {\sqrt {(0)}}=(0)}$
• Okruh ${\displaystyle R}$ je redukovaný, právě když ${\displaystyle \forall r\in R:r^{2}=0\Leftrightarrow r=0}$

• Celá čísla jsou redukovaný okruh.
• Polynomické okruhy nad tělesy jsou redukované okruhy.
• Obory integrity jsou redukované okruhy.
• Faktorokruh ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ není redukovaný, neboť třída ${\displaystyle 2+4\mathbb {Z} }$ je nenulovým nilpotentním prvkem.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Reduzierter Ring na německé Wikipedii.