Spektrální rozklad

V lineární algebře se spektrálním rozkladem čtvercové komplexní matice rozumí její kanonický tvar zapsaný pomocí matic sestavených z jejích vlastních čísel a vlastních vektorů.

Matice, které mají spektrální rozklad, se nazývají normální.

Spektrální rozklad patří mezi základní charakteristiky matice a využívá se v oblastech, jako jsou kvantová mechanika, zpracování signálu a numerická analýza.

Vlastní rozklad^[1] čtvercové matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ nad libovolným tělesem ${\displaystyle T}$ je její zápis jako součin tří matic ${\displaystyle {\boldsymbol {Q\Lambda Q}}^{-1}}$, kde ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ je regulární matice, jejíž sloupce tvoří vlastní vektory ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, diagonální matice ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$ s vlastními čísly matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ na diagonále a matice inverzní k matici ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$. Matice mající vlastní rozklad se nazývá diagonalizovatelná, protože je dle této definice podobná diagonální matici.

Spektrální rozklad je vlastním rozkladem komplexní matice, kde je matice ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ sestavena z ortonormální báze vlastních vektorů, čili je unitární.

V české literatuře bývá termín spektrální rozklad někdy používán i pro vlastní rozklad.

Název je odvozen z termínu pro množinu vlastních čísel tzv. spektra matice.

Rozklad reálné matice:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&2\\-1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}^{-1}}$

je vlastním rozkladem. Vlastní vektory nejsou na sebe navzájem kolmé, proto uvedená matice nemá spektrální rozklad a není normální.

Oproti tomu rozklad reálné matice:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}^{-1}}$

je spektrálním rozkladem, protože vlastní vektory tvoří ortonormální bázi. (Zde dokonce platí ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}^{-1}={\boldsymbol {Q}}}$.)

Ukázkou spektrálního rozkladu komplexní (zde hermitovské) matice, je součin:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&{\frac {2(1+i)}{3}}&{\frac {-1-i}{3}}\\[1mm]{\frac {2(1-i)}{3}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {2i}{3}}\\[1mm]{\frac {-1+i}{3}}&-{\frac {2i}{3}}&{\frac {7}{3}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{3}}&{\frac {-3+i}{3{\sqrt {3}}}}&{\frac {-1-2i}{3{\sqrt {3}}}}\\[2mm]{\frac {1}{3}}&{\frac {2i}{3{\sqrt {3}}}}&{\frac {4+2i}{3{\sqrt {3}}}}\\[2mm]{\frac {2}{3}}&{\frac {3-2i}{3{\sqrt {3}}}}&{\frac {-1+i}{3{\sqrt {3}}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {2}{3}}&{\frac {-3+i}{3{\sqrt {3}}}}&{\frac {-1-2i}{3{\sqrt {3}}}}\\[2mm]{\frac {1}{3}}&{\frac {2i}{3{\sqrt {3}}}}&{\frac {4+2i}{3{\sqrt {3}}}}\\[2mm]{\frac {2}{3}}&{\frac {3-2i}{3{\sqrt {3}}}}&{\frac {-1+i}{3{\sqrt {3}}}}\end{pmatrix}}^{-1}}$

Matice ${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&2\\0&3\end{pmatrix}}}$ není diagonalizovatelná, a proto nemá žádný vlastní ani spektrální rozklad.

Vlastní čísla ${\displaystyle \lambda }$ a vlastní vektory ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ čtvercové matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ řádu ${\displaystyle n}$ jsou řešením lineární rovnice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}=\lambda {\boldsymbol {x}}}$. Pokud má tato soustava ${\displaystyle n}$ lineárně nezávislých řešení ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {x}}_{n}}$ odpovídajících ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$, lze z vlastních vektorů ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {x}}_{n}}$ sestavit regulární matici ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ a vlastní čísla umístit na diagonálu diagonální matice ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$. Pro takto sestavené matice pak platí ${\displaystyle {\boldsymbol {AQ}}={\boldsymbol {Q\Lambda }}}$, protože ${\displaystyle i}$-tý sloupec v uvedeném součinu odpovídá rovnici ${\displaystyle {\boldsymbol {Ax}}_{i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}$.

Matice ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ je regulární, a proto rovnost ${\displaystyle {\boldsymbol {AQ}}={\boldsymbol {Q\Lambda }}}$ lze upravit na ekvivalentní vztah ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {Q\Lambda Q}}^{-1}}$ vynásobením ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}^{-1}}$ zprava.

Rovnici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}=\lambda {\boldsymbol {x}}}$ lze převedením obou členů na levou stranu a vytknutím ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ upravit na ekvivalentní rovnici ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}-\lambda \mathbf {I} ){\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {0}}}$, kde ${\displaystyle \mathbf {I} }$ značí jednotkovou matici. Tato rovnice odpovídá homogenní soustavě lineárních rovnic. Homogenní soustavy mají netriviální řešení právě když matice soustavy je singulární, čili když má nulový determinant. Determinant matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}-t\mathbf {I} }$ je polynom stupně ${\displaystyle n}$ v proměnné ${\displaystyle t}$ a nazývá se charakteristický polynom matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a značí se ${\displaystyle p_{\boldsymbol {A}}(t)}$. Z uvedeného vyplývá, že ${\displaystyle \lambda }$ je vlastním číslem matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, právě když je kořenem jejího charakteristického polynomu, čili když dosazení ${\displaystyle \lambda }$ za ${\displaystyle t}$ dává ${\displaystyle p_{\boldsymbol {A}}(\lambda )=0}$.

Matici ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$ lze sestavit z vlastních čísel, právě když lze charakteristický polynom rozložit na součin lineárních polynomů ${\displaystyle p_{\boldsymbol {A}}(t)=\prod _{i=1}^{n}(\lambda _{i}-t)}$. Násobnost ${\displaystyle \lambda _{i}}$ coby kořene charakteristického polynomu se nazývá algebraická násobnost vlastního čísla a odpovídá počtu výskytů ${\displaystyle \lambda _{i}}$ na diagonále matice ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$.

Sloupce matice ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ odpovídající ${\displaystyle \lambda _{i}}$ jsou bází prostoru řešení homogenní soustavy ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}-\lambda _{i}\mathbf {I} ){\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {0}}}$. Dimenze prostoru řešení se nazývá geometrická násobnost vlastního čísla ${\displaystyle \lambda _{i}}$. Lze ukázat, že geometrická násobnost vlastního čísla nikdy nepřesáhne jeho algebraickou násobnost. Aby bylo možné sestavit vlastní rozklad s regulární maticí ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ je proto nutné a postačující, aby se geometrická a algebraická násobnost každého vlastního čísla shodovaly.

Existence spektrálního rozkladu pro normální matice, t.j. matice které v součinu komutují se svou hermitovsky sdruženou maticí, čili splňují ${\displaystyle {\boldsymbol {A^{\mathrm {H} }A}}={\boldsymbol {AA^{\mathrm {H} }}}}$, vyplývá přímo ze Schurovy věty.

Pokud lze matici ${\displaystyle {\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}}$ rozložit ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {Q\Lambda Q}}^{-1}}$ a přitom má všechna vlastní čísla nenulová, pak ${\displaystyle {\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}}$ je regulární a matice k ní inverzní je dána vztahem ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}={\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}^{-1}{\boldsymbol {Q}}^{-1}}$.

Inverzní matice k diagonální ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$ je dána přímo vztahem: ${\displaystyle \left({\boldsymbol {\Lambda }}^{-1}\right)_{ii}={\frac {1}{\lambda _{i}}}}$.

Vlastní rozklad matice z naměřených dat nemusí bez dalších úprav poskytovat použitelnou inverzní matici. Zejména relativně malá vlastní čísla podstatně ovlivňují hodnoty v inverzní matici. Ty, která jsou blízko nuly nebo jsou ovlivněna "šumem" měřicího systému, mohou mít nepřiměřený vliv a mohly by zneplatnit využití spočtené inverzní matice.^[2]

Vlastní rozklad umožňuje snadný výpočet mocninných řad matic. Pro mocninnou řadu:

${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots }$

je hodnota ${\displaystyle f({\boldsymbol {A}})}$ matice s vlastním rozkladem ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {Q\Lambda Q}}^{-1}}$ dána výrazem:

${\displaystyle f({\boldsymbol {A}})={\boldsymbol {Q}}\,f({\boldsymbol {\Lambda }})\,{\boldsymbol {Q}}^{-1}}$.

Matice ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$ je diagonální, a tak lze funkce matice ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$ snadno spočítat pomocí vztahu: ${\displaystyle \left[f\left({\boldsymbol {\Lambda }}\right)\right]_{ii}=f\left(\lambda _{i}\right)}$. Prvky mimo diagonálu matice ${\displaystyle f({\boldsymbol {\Lambda }})}$ jsou nulové, a tudíž ${\displaystyle f({\boldsymbol {\Lambda }})}$ je také diagonální matice. Výpočet ${\displaystyle f({\boldsymbol {A}})}$ podstatně redukuje na výpočet hodnoty mocninné řady na každém z vlastních čísel a dva maticové součiny.

Podobná technika funguje obecněji pro holomorfní funkční kalkulus za použití již zmíněného vztahu ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}={\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}^{-1}{\boldsymbol {Q}}^{-1}}$. I v tomto případě platí ${\displaystyle \left[f({\boldsymbol {\Lambda }})\right]_{ii}=f\left(\lambda _{i}\right)}$.

Pro funkce ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$, ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$ a ${\displaystyle f(x)=\exp {x}}$, resp., dostáváme vyjádření:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{2}=({\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}{\boldsymbol {Q}}^{-1})({\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}{\boldsymbol {Q}}^{-1})={\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}({\boldsymbol {Q}}^{-1}{\boldsymbol {Q}}){\boldsymbol {\Lambda }}{\boldsymbol {Q}}^{-1}={\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}^{2}{\boldsymbol {Q}}^{-1}}$,

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{n}={\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}^{n}{\boldsymbol {Q}}^{-1}}$ a

${\displaystyle \exp {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {Q}}\exp({\boldsymbol {\Lambda }}){\boldsymbol {Q}}^{-1}}$, přičemž ${\displaystyle \exp {\boldsymbol {A}}}$ zde značí maticovou exponenciálu.

V praxi se vlastní čísla velkých matic nepočítají pomocí charakteristického polynomu. Výpočet polynomu je sám o sobě nákladný a podle Abelovy-Ruffiniho věty nelze pro obecné polynomy stupně alespoň 5 odvodit vzorce pro vyjádření kořenů. Proto se pro určení vlastních čísel a vlastních vektorů používají iterativní numerické metody.

I když lze např. Newtonovou metodou aproximovat kořeny polynomů, používají se pro vlastní čísla jiné postupy než výpočet charakteristického polynomu a následná aproximace jeho kořenů. Jedním z důvodů je, že i malé zaokrouhlovací chyby v koeficientech charakteristického polynomu mohou vést k velkým chybám ve vlastních číslech a vlastních vektorech: kořeny jsou špatně podmíněny koeficienty polynomu.

Jednoduchým a dostatečně přesným iteračním postupem je mocninná metoda: Nejprve je vybrán náhodný vektor ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ a poté se spočítá posloupnost jednotkových vektorů ${\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {v}}}{\left\|{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {v}}\right\|}},{\frac {{\boldsymbol {A}}^{2}{\boldsymbol {v}}}{\left\|{\boldsymbol {A}}^{2}{\boldsymbol {v}}\right\|}},{\frac {{\boldsymbol {A}}^{3}{\boldsymbol {v}}}{\left\|{\boldsymbol {A}}^{3}{\boldsymbol {v}}\right\|}},\ldots }$Tato posloupnost téměř vždy konverguje k vlastnímu vektoru odpovídajícímu největšímu vlastnímu číslu za předpokladu, že ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ má nenulovou složku souřadnic u tohoto vlastního vektoru vzhledem k bázi z vlastních vektorů (a také za předpokladu, že jen jedno vlastní číslo má největší absolutní hodnotu).

Tento jednoduchý algoritmus je užitečný v některých praktických aplikacích; například Google jej používá k výpočtu hodnocení stránek dokumentů ve svém vyhledávači. Z mocninné metody vycházejí i sofistikovanější postupy, např. QR algoritmus.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Eigendecomposition of a matrix na anglické Wikipedii.

• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

• Jordanova normální forma
• Singulární rozklad
• Schurův rozklad
• Sylvesterův zákon setrvačnosti