Stolzova věta

Stolzova věta nebo Stolzova-Cesàrova věta je věta matematické analýzy, která slouží k výpočtu limity podílu dvou posloupností. Stolzova věta je obdobou L'Hospitalova pravidla pro limity funkcí

Nechť ${\displaystyle (a_{n})}$ a ${\displaystyle (b_{n})}$ jsou dvě reálné posloupnosti, přičemž ${\displaystyle (b_{n})}$ je ostře rostoucí posloupnost nenulových čísel rostoucí nade všechny meze. Nechť navíc existuje limita

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}.}$

Potom také limita ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ existuje a je rovna číslu ${\displaystyle L}$.

Důkaz Stolzovy věty může být založen přímo na definici limity posloupnosti. Z předpokladů víme, že pro každé ${\displaystyle \varepsilon >0\,}$ existuje ${\displaystyle N(\varepsilon )\in \mathbb {N} }$ takové, že ${\displaystyle \forall n\geq N(\varepsilon )}$ platí:

${\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}<L+\varepsilon ,}$

kde ${\displaystyle L}$ je předpokládaná limita posloupnosti. Z předpokladu, že řada ${\displaystyle b_{n}}$ ostře roste, odvodíme, že jmenovatelé ${\displaystyle b_{n+1}-b_{n}}$ jsou vždy kladní, a smíme tedy jimi nerovnici vynásobit beze změny směru nerovností. Dostaneme:

${\displaystyle (L-\varepsilon )\,(b_{n+1}-b_{n})<a_{n+1}-a_{n}<(L+\varepsilon )\,(b_{n+1}-b_{n}).}$

Nechť dále ${\displaystyle k}$ je nějaké přirozené číslo větší než ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ a zároveň takové, aby ${\displaystyle b_{k+1}>0}$ (jeho existence plyne z předpokladu, že posloupnost ${\displaystyle b}$ diverguje). Sečtěme poslední uvedenou nerovnost od ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ po ${\displaystyle k}$ a dostaneme:

${\displaystyle (L-\varepsilon )\sum _{i=N(\varepsilon )}^{k}(b_{i+1}-b_{i})<\sum _{i=N(\varepsilon )}^{k}(a_{n+1}-a_{n})<(L+\varepsilon )\sum _{i=N(\varepsilon )}^{k}(b_{i+1}-b_{i}).}$

V sumách se však všechny mezilehlé členy navzájem vyruší, takže dostaneme:

${\displaystyle (L-\varepsilon )\,(b_{k+1}-b_{N(\varepsilon )})<a_{k+1}-a_{N(\varepsilon )}<(L+\varepsilon )\,(b_{k+1}-b_{N(\varepsilon )}),}$

což po vydělení kladným číslem ${\displaystyle b_{k+1}}$ dává:

${\displaystyle (L-\varepsilon )\left(1-{\frac {b_{N(\varepsilon )}}{b_{k+1}}}\right)<{\frac {a_{k+1}}{b_{k+1}}}-{\frac {a_{N(\varepsilon )}}{b_{k+1}}}<(L+\varepsilon )\left(1-{\frac {b_{N(\varepsilon )}}{b_{k+1}}}\right),}$

z čehož po přičtení čísla ${\displaystyle a_{N(\varepsilon )}/b_{k+1}}$ dospějeme k nerovnici

${\displaystyle (L-\varepsilon )\left(1-{\frac {b_{N(\varepsilon )}}{b_{k+1}}}\right)+{\frac {a_{N(\varepsilon )}}{b_{k+1}}}<{\frac {a_{k+1}}{b_{k+1}}}<(L+\varepsilon )\left(1-{\frac {b_{N(\varepsilon )}}{b_{k+1}}}\right)+{\frac {a_{N(\varepsilon )}}{b_{k+1}}}.}$

Protože posloupnost ${\displaystyle b}$ diverguje, můžeme s rostoucím ${\displaystyle k}$ učinit členy ${\displaystyle a_{N(\varepsilon )}/b_{k+1}}$ a ${\displaystyle b_{N(\varepsilon )}/b_{k+1}}$ libovolně malými. V limitním přechodu pro ${\displaystyle k}$ rostoucí do nekonečna tedy dostaneme nerovnici:

${\displaystyle L-\varepsilon \leq \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {a_{k+1}}{b_{k+1}}}\leq L+\varepsilon ,}$

a je zároveň vidět, že limita ${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {a_{k+1}}{b_{k+1}}}}$ existuje, jelikož členy posloupnosti ${\displaystyle {\frac {a_{k+1}}{b_{k+1}}}}$ dokážeme pro dosti vysoké ${\displaystyle k}$ omezit na libovolně malý interval kolem čísla ${\displaystyle L}$, a to je již tvrzení, které jsme chtěli dokázat.

Mějme za úkol vypočítat ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {1}}+{\sqrt {2}}+...+{\sqrt {n}}}{\sqrt {n^{3}}}}.}$

Řešení: Protože jsou splněny předpoklady Stolzovy věty (${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {n^{3}}}=+\infty }$ a po provedení následujícího výpočtu uvidíme, že i druhý předpoklad je splněn), můžeme větu aplikovat:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {1}}+{\sqrt {2}}+...+{\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}-({\sqrt {1}}+{\sqrt {2}}+...+{\sqrt {n}})}{{\sqrt {(n+1)^{3}}}-{\sqrt {n^{3}}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n+1}}{{\sqrt {(n+1)^{3}}}-{\sqrt {n^{3}}}}}=}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n+1}}{({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}})(n+1+{\sqrt {n(n+1)}}+n)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {n+1}}\,({\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}})}{2n+1+{\sqrt {n(n+1)}}}}=}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n+1+n{\sqrt {1+{\frac {1}{n}}}}}{2n+1+n{\sqrt {1+{\frac {1}{n}}}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1+{\frac {1}{n}}+{\sqrt {1+{\frac {1}{n}}}}}{2+{\frac {1}{n}}+{\sqrt {1+{\frac {1}{n}}}}}}={\frac {1+0+1}{2+0+1}}={\frac {2}{3}}.}$

Protože jsme zároveň ověřili, že předpoklady Stolzovy věty platí, můžeme tvrdit, že limita posloupnosti v zadání je rovna 2/3. Přitom jsme při druhé úpravě rozložili jmenovatele podle vzorce ${\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}$ a při třetí jsme zlomek rozšířili výrazem ${\displaystyle ({\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}})}$, přičemž se první činitel ve jmenovateli vynásobil podle vzorce ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)}$. Čtvrtá úprava znamená roznásobení závorky v čitateli a vytknutí n, pátá vykrácení zlomku číslem n, šestá limitní přechod pro jednotlivé členy čitatele i jmenovatele.

• Limita
• Posloupnost
• L'Hospitalovo pravidlo

• (anglicky) Důkaz Stolzovy věty Archivováno 30. 1. 2008 na Wayback Machine.
• Přednáška prof. Ing. Edity Pelantové, CSc., o Stolzově větě

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.