Allen-Cahn-Gleichung

Die Allen-Cahn-Gleichung (manchmal auch zeit-abhängige Ginzburg-Landau-Gleichung) ist eine semilineare parabolische partielle Differentialgleichung und Reaktionsdiffusionsgleichung. Sie wird unter anderem verwendet, um den Phasenübergang von binären Legierungen zu beschreiben. Des Weiteren wird sie auch zur Modellierung der Kristallzüchtung verwendet.^[1]

Die Gleichung ist nach John W. Cahn und seinem Doktoranden Sam Allen benannt.^[2]

Sei

• ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene Menge,
• ${\displaystyle v_{0}(x)\in L^{2}(\Omega )}$ eine beliebige Initialfunktion,
• ${\displaystyle \varepsilon >0}$ und ${\displaystyle T>0}$ zwei Konstanten.

Gesucht ist eine Lösungsfunktion ${\displaystyle v(x,t):\Omega \times [0,T]\to \mathbb {R} }$, welche die Allen-Cahn-Gleichung^[3]

${\displaystyle \partial _{t}v-\Delta _{x}v={\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}f(v),\quad \Omega \times [0,T]}$

löst, wobei

• ${\displaystyle \Delta _{x}}$ der Laplace-Operator nach ${\displaystyle x}$ ist,
• ${\displaystyle f(v)=F'(v)}$ die Ableitung für ein nicht-negatives ${\displaystyle F\in C^{1}(\mathbb {R} )}$ mit zwei Minima ${\displaystyle F(\pm 1)=0}$ ist.

Häufig verwendet man folgende Initialbedingung mit der Neumann-Randbedingung

${\displaystyle {\begin{cases}v(x,0)=v_{0}(x),&\Omega \times \{0\}\\\partial _{n}v=0,&\partial \Omega \times [0,T]\\\end{cases}}}$

wobei ${\displaystyle \partial _{n}v}$ die Normalenableitung ${\displaystyle \partial _{n}v=\nabla v\cdot n}$ (und ${\displaystyle n}$ die äußere Normale) ist.

${\displaystyle F}$ ist ein Energiepotential, häufig wählt man dafür die Funktion

${\displaystyle F(v)={\frac {(v^{2}-1)^{2}}{4}},\qquad f(v)=v^{3}-v}$

dann schreibt sich die Allen-Cahn-Gleichung als

${\displaystyle \partial _{t}v-\Delta _{x}v={\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}\left(v^{3}-v\right),\quad \Omega \times [0,T]}$

Betrachte das Freie-Energie-Funktional

${\displaystyle E_{\varepsilon }[v]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}F(v)\right)dx,}$

dann erhält man die Allen-Cahn-Gleichung, wenn man den ${\displaystyle L^{2}}$-Gradientenfluss des Funktionals berechnet, das bedeutet man berechnet die Gleichung

${\displaystyle \partial _{t}v=-{\frac {\delta E_{\varepsilon }[v]}{\delta v}},}$

wobei wir rechts die Funktionalableitung genommen haben.^[3]

• Sören Bartels: Numerical Methods for Nonlinear Partial Differential Equations. Hrsg.: Springer International Publishing. Deutschland 2015. 

1. ↑ T. Philippe, H. Henry, M. Plapp: A regularized phase-field model for faceting in a kinetically controlled crystal growth. In: Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. Band 476, Nr. 2241, September 2020, doi:10.1098/rspa.2020.0227, PMID 33071578, PMC 7544347 (freier Volltext). 
2. ↑ S. M. Allen und J. W. Cahn: A microscopic theory for antiphase boundary motion and its application to antiphase domain coarsening. In: Acta. Metal. Band 27, 1979, S. 1084–1095. 
3. ↑ ^{a b} Sören Bartels: Numerical Methods for Nonlinear Partial Differential Equations. Hrsg.: Springer International Publishing. Deutschland 2015, S. 153.