In der Statistik gibt die Anzahl der Freiheitsgrade (englisch number of degrees of freedom, kurz df oder dof) an, wie viele Werte in einer Berechnungsformel (genauer: Statistik) frei variieren dürfen.
Schätzungen statistischer Parameter können auf unterschiedlichen Mengen an Informationen oder Daten basieren. Die Anzahl unabhängiger Information, die in die Schätzung eines Parameters einfließen, wird als Anzahl der Freiheitsgrade bezeichnet. Im Allgemeinen sind die Freiheitsgrade einer Schätzung eines Parameters gleich der Anzahl unabhängiger Einzelinformationen, die in die Schätzung einfließen, abzüglich der Anzahl der zu schätzenden Parameter, die als Zwischenschritte bei der Schätzung des Parameters selbst verwendet werden. Beispielsweise fließen
Werte in die Berechnung der Stichprobenvarianz ein. Dennoch lautet die Anzahl der Freiheitsgrade
, da als Zwischenschritt der Mittelwert geschätzt wird und somit ein Freiheitsgrad verloren geht.
Definition
Die Anzahl
der unabhängigen Beobachtungswerte abzüglich der Anzahl der schätzbaren Parameter
wird als Anzahl der Freiheitsgrade
bezeichnet. Da es in einem multiplen linearen Regressionsmodell
Parameter mit
Steigungsparametern
und einem Niveauparameter
gibt, kann man schreiben
.
Die Freiheitsgrade kann man auch als Anzahl der „überflüssigen“ Messungen interpretieren, die nicht zur Bestimmung der Parameter benötigt werden.[1]
Die Freiheitsgrade werden bei der Schätzung von Varianzen benötigt. Außerdem sind verschiedene Wahrscheinlichkeitsverteilungen, mit denen anhand der Stichprobe Hypothesentests durchgeführt werden, von den Freiheitsgraden abhängig.
Beispiele
Beim Erwartungswert der Residuenquadratsumme
Für die Schätzung der Störgrößenvarianz wird die Residuenquadratsumme
![{\displaystyle \mathrm {RSS} =\sum _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}^{2}={\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{\top }{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0771d3f9ac9688d192eef4e54a684a30af422676)
benötigt. Der erwartungstreue Schätzer für die Störgrößenvarianz ist im multiplen linearen Regressionsmodell
,
da
. Die Residuenquadratsumme hat
Freiheitsgrade, entsprechend der Anzahl der unabhängigen Residuen. Der Erwartungswert der Residuenquadratsumme ist aufgrund der Formel für die erwartungstreue Störgrößenvarianz gegeben durch
.
Um intuitiv herausfinden zu können, warum die Anpassung der Freiheitsgrade notwendig ist, kann man die Bedingungen erster Ordnung für die KQ-Schätzer betrachten. Diese können als
![{\displaystyle \textstyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e5068e470ed172aed2bc0aa22af0488fb897352)
und
![{\displaystyle \textstyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}x_{ij}{\hat {\varepsilon }}_{i}=0,\;j=1,\ldots ,k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa7c5b408f4c65dab869d7c7b16a73afd79a5300)
ausgedrückt werden. Beim Erhalten der KQ-Schätzer werden somit den KQ-Residuen
Restriktionen auferlegt. Dies bedeutet, dass bei gegebenen
Residuen die verbleibenden
Residuen bekannt sind: In den Residuen gibt es folglich nur
Freiheitsgrade (Im Gegensatz dazu gibt es in den wahren Störgrößen
n Freiheitsgrade in der Stichprobe.)
Eine verzerrte Schätzung, die nicht die Anzahl der Freiheitsgrade berücksichtigt ist die Größe
.
Den Schätzer bekommt man bei Anwendung der Maximum-Likelihood-Schätzung.
Bei der empirischen Varianz
Für eine erwartungstreue Schätzung der Varianz der Grundgesamtheit wird die Quadratsumme von
durch die Anzahl der Freiheitsgrade geteilt und man erhält die Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)
.
Da diese Varianz erwartungstreu ist, gilt für sie
. Das empirische Pendant zu dieser Varianz ist die empirische Varianz
![{\displaystyle s^{2}:={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0298c3b9251bb1a3352369be2d69c61f3c7b1ce8)
Intuitiv lässt sich bei der empirischen Varianz die Mittelung durch
statt durch
bei der modifizierten Form der empirischen Varianz wie folgt erklären: Aufgrund der Schwerpunkteigenschaft des empirischen Mittels
ist die letzte Abweichung
bereits durch die ersten
bestimmt. Folglich variieren nur
Abweichungen frei und man mittelt deshalb, indem man durch die Anzahl der Freiheitsgrade
dividiert.[2]
Anzahl der Freiheitsgrade von wichtigen Quadratsummen
Die folgende Tafel der Varianzanalyse zeigt die Anzahl der Freiheitsgrade einiger wichtiger Quadratsummen im multiplen linearen Regressionsmodell
:[3]
Variationsquelle | Abweichungsquadratsummen | Anzahl der Freiheitsgrade | mittlere Abweichungsquadrate |
Regression | ![{\displaystyle \displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\overline {\hat {y}}})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f49ccb7690b6c895960658dfab807c356acde205) | ![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40) | |
Residual | ![{\displaystyle \displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\hat {y}}_{i}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2d9c1d2120743d49b4af55ef127cef8b86545d4) | (n-k) | |
Total | ![{\displaystyle \displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\overline {y}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/780bf0fa11b680670bc9e974597a3d9ec3e8c63c) | ![{\displaystyle (n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df88c6333caaf6471cf277f24b802ff9931b133e) | |
Diese Quadratsummen spielen bei der Berechnung des Bestimmtheitsmaßes eine große Rolle.
Freiheitsgrade als Parameter von Verteilungen
Die Anzahl der Freiheitsgrade ist auch Parameter mehrerer Verteilungen. Wenn die Beobachtungen normalverteilt sind, dann folgt der Quotient aus der Residuenquadratsumme
und der Störgrößenvarianz
einer Chi-Quadrat-Verteilung mit
Freiheitsgraden:
.
Die Größe
folgt einer Chi-Quadrat-Verteilung mit
Freiheitsgraden, weil die Anzahl der Freiheitsgrade der Chi-Quadrat-Verteilung der Spur der Projektionsmatrix
entspricht, also
![{\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\top }\left(\mathbf {I} -\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\right){\boldsymbol {\varepsilon }}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi ^{2}(\operatorname {Spur} \left(\mathbf {I} _{n}-\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ad3b9e3ad19f2eebe97aa24eaf0ae324757bf5)
Für die Spur von
gilt
. Weitere von der Anzahl der Freiheitsgrade abhängige Verteilungen sind die t-Verteilung und die F-Verteilung. Diese Verteilungen werden für die Schätzung von Konfidenzintervallen der Parameter und für Hypothesentests benötigt.[4]
Eine weitere wichtige Größe, die für die statistische Inferenz benötigt wird und deren Verteilung von Freiheitsgraden abhängt, ist die t-Statistik. Man kann zeigen, dass die Größe
![{\displaystyle {\frac {\frac {{\boldsymbol {R}}_{1}{\boldsymbol {\hat {\beta }}}-{\boldsymbol {R}}_{1}{\boldsymbol {\beta }}}{\sqrt {\sigma ^{2}{\boldsymbol {R}}_{1}(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}{\boldsymbol {R}}_{1}^{\top }}}}{\sqrt {\frac {(n-p){\hat {\sigma }}^{2}}{\sigma ^{2}(n-p)}}}}={\frac {{\mathcal {N}}(0;1)}{\sqrt {\frac {\chi _{n}^{2}}{n}}}}\;\;{\stackrel {H_{0}}{\sim }}\;\;{\mathcal {t}}(n-p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f993a0da04014227e4013aed46de02c2ad8245d4)
einer t-Verteilung mit
Freiheitsgraden folgt (siehe Testen allgemeiner linearer Hypothesen).
Einzelnachweise
- ↑ Berhold Witte, Hubert Schmidt: Vermessungskunde und Grundlagen der Statistik für das Bauwesen. 2. Auflage. Wittwer, Stuttgart 1989, ISBN 3-87919-149-2, S. 59.
- ↑ Fahrmeir, L.; Künstler, R.; Pigeot, I.; Tutz, G.: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8. Auflage, S. 65
- ↑ William H. Greene: Econometric Analysis. 5. Auflage. Prentice Hall International, 2002, ISBN 0-13-110849-2, S. 33.
- ↑ Karl-Rudolf Koch: Parameterschätzung und Hypothesentests. 3. Auflage. Dümmler, Bonn 1997, ISBN 3-427-78923-3.