Atoroidale Mannigfaltigkeit

In der dreidimensionalen Topologie beschreibt Atoroidalität eine Beziehung zwischen dem Rand einer Mannigfaltigkeit und der Mannigfaltigkeit selbst.

Eine irreduzible Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ heißt geometrisch atoroidal, wenn sich jeder in ${\displaystyle M}$ inkompressibel eingebettete 2-Torus durch eine Isotopie auf eine Randkomponente von ${\displaystyle M}$ verschieben lässt. Dies bedeutet, dass ${\displaystyle M}$ keine eingebetteten Tori enthält, außer solchen, die offensichtlich existieren müssen.

Eine irreduzible Mannigfaltigkeit heißt homotopisch atoroidal, wenn jede Abbildung ${\displaystyle T^{2}\to M}$, die die Fundamentalgruppe des Torus ${\displaystyle T^{2}}$ injektiv in die Fundamentalgruppe von ${\displaystyle M}$ abbildet, zu einer Abbildung in den Rand homotop ist. Dies entspricht der Eigenschaft der Fundamentalgruppe von ${\displaystyle M}$, dass jede Untergruppe der Form ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ zur Fundamentalgruppe einer Torus-Randkomponente konjugiert ist.

Man kann zeigen, dass „geometrisch atoroidal“ aus „homotopisch atoroidal“ folgt. Die Umkehrung gilt jedoch nicht. Der Torus-Satz besagt, dass eine geometrisch atoroidale 3-Mannigfaltigkeit entweder homotopisch atoroidal oder ein Seifertscher Faserraum ist.^[1]

Die Hyperbolisierungvermutung von Thurston besagt, dass jede irreduzible homotopisch atoroidale Mannigfaltigkeit mit unendlicher Fundamentalgruppe eine hyperbolische Struktur trägt.

1. ↑ P. Scott: A new proof of the annulus and torus theorems. Amer. J. Math. 102 (1980), no. 2, 241–277.