Die Chapman-Robbins-Ungleichung ist eine mathematische Aussage in der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Sie liefert für einen erwartungstreuen Schätzer eine untere Schranke für die Varianz des Schätzers und damit auch eine Abschätzung für seine Qualität. Unter zusätzlichen Regularitätsvoraussetzungen liefert die Chapman-Robbins-Ungleichung auch eine punktweise Version der Cramér-Rao-Ungleichung.
Die Ungleichung ist nach Douglas George Chapman und Herbert Robbins benannt.
Rahmenbedingungen
Gegeben sei ein statistisches Modell
. Sei
fest und sei
von
dominiert, das heißt für alle
existiert eine Dichtefunktion
![{\displaystyle f_{\vartheta }:={\frac {\mathrm {d} P_{\vartheta }}{\mathrm {d} P_{\vartheta _{0}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b430b8ed4424868583b2621238bc3cf841cde3b8)
von
bezüglich
.
Des Weiteren sei
die Menge aller bezüglich
quadratintegrierbaren Funktionen (siehe Lp-Raum) und
die Menge aller erwartungstreuen Schätzer für die Parameterfunktion
.
Dann ist
![{\displaystyle D_{g}(\vartheta _{0}):=D_{g}\cap L^{2}(P_{\vartheta _{0}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b698732097e07941e00f743f35059e8cc828fa12)
die Menge aller erwartungstreuen Schätzer für
mit endlicher Varianz bezüglich
und
![{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\vartheta _{0}}:=\{f_{\vartheta }\,|\,f_{\vartheta }\in L^{2}(P_{\vartheta _{0}})\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6899272651c8895a579210e551c481dfce435392)
die Menge aller Dichtefunktionen mit endlicher Varianz bezüglich
.
Aussage
Es gilt für alle
:
![{\displaystyle \operatorname {Var} _{\vartheta _{0}}(T)\geq \sup _{f_{\vartheta }\in {\mathcal {F}}_{\vartheta _{0}}}{\frac {\left(g(\vartheta )-g(\vartheta _{0})\right)^{2}}{\operatorname {Var} _{\vartheta _{0}}(f_{\vartheta })}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/582a2a7a080a06d8e67e8d4290c72ca019b5743c)
Übergang zur Cramér-Rao-Ungleichung
Unter den folgenden Bedingungen liefert die Chapman-Robbins-Ungleichung eine punktweise Version der Cramér-Rao-Ungleichung:
- Für alle
existiert die Ableitung
in
. - Der Quotient
konvergiert für
in
gegen
.
- Die Parameterfunktion
ist in
differenzierbar.
Aus diesen Voraussetzungen folgt
![{\displaystyle \lim _{\vartheta \to \vartheta _{0}}{\frac {g(\vartheta )-g(\vartheta _{0})}{\vartheta -\vartheta _{0}}}=g'(\vartheta _{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e858bd3b10f3133290f7fb85a1544868b3556a57)
sowie
,
wobei
die Fisher-Information im Punkt
ist.
Aus der Chapman-Robbins-Ungleichung folgt dann,
,
die Cramér-Rao-Ungleichung im Punkt
.
Literatur
- Douglas G. Chapman & Herbert Robbins: Minimum Variance Estimation Without Regularity Assumptions. In: Annals of Mathematical Statistics. Band 22, Nr. 4, 1951, S. 581–586, doi:10.1214/aoms/1177729548, JSTOR:2236927.
- Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.