Dirac-Operator

Der Dirac-Operator ist ein Differentialoperator, der eine Quadratwurzel aus dem Laplace-Operator ist. Der ursprüngliche Fall, mit dem sich Paul Dirac beschäftigte, war die formale Faktorisierung eines Operators für den Minkowski-Raum, der die Quantentheorie mit der speziellen Relativitätstheorie verträglich macht.

Es sei ${\displaystyle D\in \operatorname {Diff} ^{1}(V,V)}$ ein geometrischer Differentialoperator erster Ordnung, der auf ein Vektorbündel ${\displaystyle V\to M}$ über einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ wirkt. Wenn dann

${\displaystyle D^{2}=\Delta \,,}$

gilt, wobei ${\displaystyle \Delta }$ ein verallgemeinerter Laplace-Operator auf ${\displaystyle V}$ ist, so heißt ${\displaystyle D}$ Dirac-Operator.^[1]

Ursprünglich hatte Paul Dirac die Wurzel aus dem D’Alembertoperator ${\displaystyle \square }$ betrachtet und damit die relativistische Quantenfeldtheorie eines Elektrons begründen wollen.

Dirac betrachtete für n=3 den Differentialoperator

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}\gamma _{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\,,}$

wobei ${\displaystyle \gamma _{i}}$ die Dirac-Matrizen sind. Dieser ist jedoch nach heutigem Verständnis kein Dirac-Operator mehr.^[2]

In den 1960ern griffen Michael Francis Atiyah und Isadore M. Singer diesen von Dirac definierten Differentialoperator auf und entwickelten daraus den hier im Artikel hauptsächlich beschriebenen (verallgemeinerten) Dirac-Operator. Der Name Dirac-Operator wurde von Atiyah und Singer geprägt. Der Operator beeinflusste die Mathematik und die mathematische Physik des 20. Jahrhunderts stark.^[3]

Es sei ${\displaystyle (M,g)}$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle ({\mathcal {E}},h,\nabla ^{\mathcal {E}})}$ ein Dirac-Bündel, bestehend aus einem Clifford-Modul-Bündel ${\displaystyle {\mathcal {E}}\to M}$ einer hermiteschen Metrik ${\displaystyle h}$ auf ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ und einem Clifford-Zusammenhang ${\displaystyle \nabla ^{\mathcal {E}}}$ auf ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$. Dann ist der Operator

${\displaystyle D\colon \Gamma (M,{\mathcal {E}}){\xrightarrow {\nabla ^{\mathcal {E}}}}\Gamma (M,T^{*}M\otimes {\mathcal {E}}){\xrightarrow {c}}\Gamma (M,{\mathcal {E}})}$

der zum Dirac-Bündel ${\displaystyle (E,h,\nabla ^{\mathcal {E}})}$ assoziierte Dirac-Operator. In lokalen Koordinaten hat er die Darstellung

${\displaystyle D=\sum _{i=1}^{n}c(\mathrm {d} x^{i})\nabla _{\partial _{i}}^{\mathcal {E}}\,.}$

Der Operator ${\displaystyle -i\partial _{x}}$ ist ein Dirac-Operator über dem Tangentialbündel von ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Betrachtet werde der Konfigurationsraum eines Teilchens mit Spin ¹/₂, das auf die Ebene ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ beschränkt ist, welche die Basis-Mannigfaltigkeit bildet. Der Zustand wird durch eine Wellenfunktion ψ_G mit zwei komplexen Komponenten beschrieben, für die also jeweils ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {C} \,}$ gelten soll, wobei Gesamtzustände, die sich nur um einen komplexen Faktor unterscheiden, identifiziert werden. Der Gesamtzustand ist also:

${\displaystyle \psi _{G}={\begin{bmatrix}\chi _{\uparrow }(x,y)\\\eta _{\downarrow }(x,y)\end{bmatrix}}\,.}$

Dabei sind ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ die üblichen kartesischen Koordinaten auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$: ${\displaystyle \chi _{\uparrow }}$ definiert die Wahrscheinlichkeitsamplitude für die aufwärts gerichteten Spin-Komponente (Spin-Up), und analog ${\displaystyle \eta _{\downarrow }}$ für die Spin-Down-Komponente. Der sogenannte Spin-Dirac-Operator kann dann geschrieben werden als

${\displaystyle D=-i\sigma _{x}\partial _{x}-i\sigma _{y}\partial _{y},}$

wobei σ_x und σ_y die Pauli-Matrizen sind. Man beachte, dass die antikommutativen Beziehungen der Pauli-Matrizen einen Beweis der obigen Definition trivial machen. Diese Beziehungen definieren den Begriff der Clifford-Algebra#Beispiele am Beispiel der Quaternionen-Algebra. Lösungen der Dirac-Gleichung für Spinor-Felder werden oft harmonische Spinoren genannt^[4].

Sei ${\displaystyle (M,g)}$ eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ${\displaystyle \mathrm {d} \colon {\mathcal {A}}(M)^{\bullet -1}\to {\mathcal {A}}^{\bullet }(M)}$ die äußere Ableitung und ${\displaystyle \mathrm {d} ^{t}\colon {\mathcal {A}}^{\bullet }(M)\to {\mathcal {A}}^{\bullet -1}(M)}$ der zur äußeren Ableitung bezüglich der L²-Metrik adjungierte Operator. Dann ist

${\displaystyle \mathrm {d} +\mathrm {d} ^{t}\colon {\mathcal {A}}^{\bullet }(M)\to {\mathcal {A}}^{\bullet }(M)}$

ein Dirac-Operator.^[5]

Es gibt auch einen Dirac-Operator in der Clifford-Analysis. Im n-dimensionalen euklidischen Raum, d. h. für ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\,,}$ ist das
    ${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$
wobei
    ${\displaystyle \{e_{j}:j=1,\ldots ,n\}}$
eine Orthonormal-Basis des euklidischen Raumes ist und ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ in eine Clifford-Algebra eingebettet ist. Dies ist ein Spezialfall des Atiyah-Singer-Dirac-Operators, der auf den Schnitten eines Spinor-Bündels wirkt.

Für eine Spin-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$, ist der Atiyah-Singer-Dirac-Operator lokal folgendermaßen definiert:
Für ${\displaystyle x\in M}$ und ${\displaystyle e_{1}(x),\ldots ,e_{j}(x)}$ eine lokale Orthonormalbasis für den Tangentenraum von ${\displaystyle M}$ in ${\displaystyle x}$ ist der Atiyah-Singer-Dirac-Operator
    ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}e_{j}(x){\tilde {\Gamma }}_{e_{j}(x)}}$,
wobei ${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}}$ ein Paralleltransport des Levi-Civita-Zusammenhangs auf ${\displaystyle M}$ für das Spinor-Bündel über ${\displaystyle M}$ ist.

Das Hauptsymbol eines verallgemeinerten Laplace-Operators ist ${\displaystyle \xi \mapsto \|\xi \|^{2}}$. Entsprechend ist das Hauptsymbol eines Dirac-Operators ${\displaystyle \xi \mapsto \|\xi \|}$ und somit sind beide Klassen von Differentialoperatoren elliptisch.

Der Operator ${\displaystyle D\colon C^{\infty }(\mathbb {R} ^{k}\otimes \mathbb {R} ^{n},S)\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{k}\otimes \mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{k}\otimes S)}$, der auf die nachfolgend definierten spinorwertige Funktionen wirkt,

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})\mapsto {\begin{pmatrix}\partial _{\underline {x_{1}}}f\\\partial _{\underline {x_{2}}}f\\\ldots \\\partial _{\underline {x_{k}}}f\\\end{pmatrix}}}$

wird in der Clifford-Analysis oft als Dirac-Operator in k Clifford-Variablen genannt. In dieser Notation ist S der Raum von Spinoren, ${\displaystyle x_{i}=(x_{i1},x_{i2},\ldots ,x_{in})}$ sind n-dimensionale Variablen und ${\displaystyle \textstyle \partial _{\underline {x_{i}}}=\sum _{j}e_{j}\cdot \partial _{x_{ij}}}$ ist der Dirac-Operator in der ${\displaystyle i}$-ten Variablen. Dies ist eine gebräuchliche Verallgemeinerung des Dirac-Operators (k=1) und der Dolbeault-Kohomologie (n=2, k beliebig). Er ist ein Differentialoperator, der invariant zu der Operation der Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SL} (k)\times \operatorname {Spin} (n)}$ ist. Die Injektive Auflösung von D ist nur für einige Spezialfälle bekannt.

• Atiyah-Singer-Indexsatz

• Thomas Friedrich: Dirac Operators in Riemannian Geometry (Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie, 1997). American Mathematical Society, Providence, R.I. 2000, ISBN 978-0-8218-2055-1.
• Fabrizio Colombo, Irene Sabadini: Analysis of Dirac Systems and Computational Algebra (Progress in mathematical physics; Bd. 39). Birkhäuser, Boston, Mass. 2004, ISBN 978-0-8176-4255-6.

1. ↑ Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270-853-3, S. 498
2. ↑ Herbert Schröder: Funktionalanalysis. 2. korr. Auflage. Harri Deutsch, 2000, ISBN 3-8171-1623-3, S. 364. 
3. ↑ Yanlin Yu: The index theorem & the heat equation method. 1. Auflage. World Scientify, Singapur 2001, ISBN 981-02-4610-2, S. 195. 
4. ↑ D. V. Alekseevskii (originator): Spinor structure. Encyclopedia of Mathematics
5. ↑ Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270-853-3, S. 499