In der statistischen Physik wird das Fermi-Dirac-Integral (nach Enrico Fermi und Paul Dirac) mit Index
definiert als
![{\displaystyle F_{j}(x)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{j}}{\exp(t-x)+1}}\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a1c1534e2b5a19502a788353ab5b668fe28dbaa)
wobei
die Gammafunktion ist. Wird die untere Grenze des Integrals als Argument der Funktion angegeben
![{\displaystyle F_{j}(x,b)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{b}^{\infty }{\frac {t^{j}}{\exp(t-x)+1}}\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/809776e9a5287053306b63275d792144ea2821f1)
dann spricht man vom unvollständigen Fermi-Dirac-Integral.
Anwendung für F1/2
Die Funktion tritt unter anderem auf in der Festkörperphysik im Zusammenhang mit der Aufenthaltsverteilung von Elektronen im Kristallgitter. Dort muss oft das Integral
berechnet werden (siehe: Zustandsdichte). Substituiere beim zweiten Gleichheitszeichen
sowie
, sodass
:
![{\displaystyle n=N\int _{E_{c}}^{\infty }{\frac {\sqrt {E-E_{c}}}{\exp \left({\frac {E-\mu }{kT}}\right)+1}}\,\mathrm {d} E=N\left(kT\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {t}}{\exp \left(t-x\right)+1}}\,\mathrm {d} t=N\left(kT\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}F_{1/2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67fd8876af0fe6ad037dc105eb260a1a82fd054a)
Näherung für F1/2
Das Integral
lässt sich für verschiedene Wertebereiche von
näherungsweise lösen:
![{\displaystyle {\tilde {F}}_{1/2}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{e^{-x}+0{,}27}}&{\text{wenn }}\ -\infty <x<1{,}3\\{\frac {4}{3{\sqrt {\pi }}}}\left(x^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)^{3/4}&{\text{wenn }}\ \,1{,}3\leq x<\infty \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42642cb8510ee1b469b527489190a367273f0ffa)
Der relative Fehler dieser Näherungslösung
beträgt maximal 3 % (maximale Abweichung bei
und bei
). Für große Entfernung vom Ursprung lässt sich
durch zwei Funktionen annähern:
für ![{\displaystyle -x\gg 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fad10cbc136aeda4afd43724b938c1016b72d33)
für ![{\displaystyle x\gg 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03817e8d3d6b485b7304c4b481d7a352da1f4f0c)
Darstellung mit Polylogarithmen
Mittels des Polylogarithmus kann das Fermi-Dirac-Integral dargestellt werden als
.
Wegen
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {Li} _{n}(x)={\frac {1}{x}}\mathrm {Li} _{n-1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97690b130ab35e9db0df5932be5dd8bf20745335)
folgt daraus
.
Weblinks
- GNU Scientific Library – Reference Manual
Literatur
- J. S. Blakemore: Approximations for Fermi-Dirac Integrals. Solid-State Electronics, 25(11):1067–1076, 1982.