Gebrochene Brownsche Bewegung

Die gebrochene Brownsche Bewegung oder auch fraktionale Brownsche Bewegung ist eine Klasse von zentrierten Gauß-Prozessen ${\displaystyle (X^{H}(t))_{t\geq 0}}$, welche durch die folgende Kovarianzfunktion charakterisiert sind:

${\displaystyle E[X^{H}(t)X^{H}(s)]={\frac {1}{2}}(t^{2H}+s^{2H}-|t-s|^{2H}),}$

wobei H eine reelle Zahl in (0, 1) ist. H wird häufig der Hurst-Parameter genannt. Für H=1/2 ist die gebrochene Brownsche Bewegung eine eindimensionale Brownsche Bewegung.

${\displaystyle X^{H}}$ ist selbstähnlich. Genauer gilt, dass die Prozesse ${\displaystyle (X^{H}(ct))_{t\geq 0}}$ und ${\displaystyle (c^{H}X^{H}(t))_{t\geq 0}}$ für jedes feste c > 0 dieselbe Verteilung besitzen.

Aus der Darstellung der Kovarianzfunktion folgt direkt die Beziehung

${\displaystyle E[(X^{H}(t)-X^{H}(s))^{2}]=|t-s|^{2H},\quad t,s\geq 0.}$

Insbesondere sind die Inkremente also stationär. Außerdem gilt:

• falls H = 1/2, so hat der Prozess unabhängige Inkremente;
• falls H > 1/2, so sind die Inkremente positiv korreliert;
• falls H < 1/2, so sind die Inkremente negativ korreliert.

Die Pfade der gebrochenen Brownschen Bewegung mit Hurst-Parameter H sind Hölder-stetig mit Index ${\displaystyle \alpha }$ für jedes ${\displaystyle \alpha <H}$.

Es ist möglich, stochastische Integrale bezüglich der gebrochenen Brownschen Bewegung zu definieren.

• Anomale Diffusion

• Vorlesungsvideo über die gebrochene Brownsche Bewegung (englisch)

• Francesca Biagini, Yaozhong Hu, Bernt Øksendal, Tusheng Zhang: Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion. Springer, London 2010, ISBN 1-84996-994-9 (Softcover reprint of hardcover 1st ed. 2008).