Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeit

Die Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeit (auch HW-Mannigfaltigkeit oder Didicosm) ist im mathematischen Teilgebiet der Riemannschen Geometrie eine kompakte, orientierbare und flache 3-Mannigfaltigkeit. Eine besondere Rolle spielt die Mannigfaltigkeit in der kosmischen Topologie als mögliche Form des Universums, da dadurch die Eigenschaften der kosmischen Hintergrundstrahlung besser erklärt werden können als mit einem 3-Torus.^[1] Benannt und erstmals untersucht wurde die Mannigfaltigkeit von den deutschen Mathematikern Walter Hantzsche und Hilmar Wendt im Jahr 1934.^[2]

Die Kleinsche Vierergruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$ wirkt auf dem 3-Torus ${\displaystyle T^{3}=S^{1}\times S^{1}\times S^{1}}$ durch die antipodale Abbildung auf zwei Komponenten. Der Orbitraum:

${\displaystyle D:=T^{3}/(\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2})}$

ist die Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeit.

• Die Holonomiegruppe der Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeit ist ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{2}}$.^[3]
• Die erste Homologiegruppe der Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeit ist ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}^{2}}$.^[4]

Der erste und zweite Amphidicosm sind kompakte, nicht orientierbare und flache 3-Mannigfaltigkeiten mit Holonomiegruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{2}}$ und Betti-Zahl ${\displaystyle 1}$.

Eine verallgemeinerte Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeit ist eine kompakte und flache ${\displaystyle n}$-Mannigfaltigkeit mit Holonomiegruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{n-1}}$.

Der Didicosm spielt eine zentrale Rolle in der gleichnamigen Science-Fiction-Kurzgeschichte Didicosm von Greg Egan.

1. ↑ Ralf Aurich, Sven Lustig: The Hantzsche-Wendt Manifold in Cosmic Topology. 10. März 2014, abgerufen am 21. Oktober 2023 (englisch). 
2. ↑ Walter Hantzsche, Hilmar Wendt: Dreidimensionale euklidische Raumformen. In: Mathematische Annalen. 110. Jahrgang, Nr. 1, 1935, ISSN 0025-5831, S. 593–611, doi:10.1007/BF01448045 (englisch, springer.com). 
3. ↑ R. J. Miatello, J. P. Rossetti: Isospectral Hantzsche-Wendt manifolds. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal). 1999. Jahrgang, Nr. 515, 29. Oktober 1999, ISSN 1435-5345, S. 1–23, doi:10.1515/crll.1999.077 (englisch, degruyter.com). 
4. ↑ Greg Egan: Didicosm: Loops Across Space. Abgerufen am 20. Oktober 2023 (englisch). 

• Hantzsche-Wendt manifold auf nLab (englisch)