In der algebraischen Geometrie gibt die Hilbert-Funktion Informationen über die Anzahl der Hyperflächen zu einem gegebenen Grad. Für hinreichend große Argumente stimmt sie mit einem als Hilbert-Polynom bezeichneten Polynom überein.
Hilbert-Funktion
Sei
eine projektive Varietät mit Verschwindungsideal
.
Für
sei
![{\displaystyle I(X)_{d}=I(X)\cap K\left[Z_{0},\ldots ,Z_{n}\right]_{d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c96248f7a73e304af803f8d70a2816215a30ffdb)
der homogene Anteil vom Grad
. Der Koordinatenring
ist dann ein graduierter Ring
![{\displaystyle S(X)=\bigoplus _{d\geq 0}S(X)_{d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d7ef6168953f6d5f130c377bfe4b63df627310)
mit
.
Die Dimension von
gibt die Anzahl der unabhängigen,
enthaltenden Hyperflächen vom Grad
. Die Hilbert-Funktion
ist definiert durch
,
sie gibt also die Kodimension von
.
Beispiele
- Sei
. Dann ist
für alle
. - Sei
. Dann ist
und
für alle
. - Sei
eine aus
Punkten bestehende Menge. Dann ist
für
. - Sei
eine durch ein homogenes Polynom vom Grad
gegebene Kurve. Dann ist
für
.
Hilbert-Polynom
Satz: Zu jeder projektiven Varietät
gibt es ein Polynom
vom Grad
, so dass
![{\displaystyle H_{X}(d)=h_{X}(d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3703b11fc5d8e41f3dc5d8a67eda33aa292ce3f6)
- für alle hinreichend großen
gilt.
Das Polynom
heißt das Hilbert-Polynom der Varietät
.
Siehe auch
Literatur
- D. Eisenbud: Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics 150, Springer-Verlag New York, ISBN 0-387-94268-8
Weblinks
- D. Plaumann: Hilbert polynomials