Hilberts Satz 90

Der mathematische Satz, den David Hilbert unter der Nummer 90 in seiner Theorie der algebraischen Zahlkörper aufführt und der seither diesen Namen trägt, macht eine Aussage über die Struktur bestimmter Körpererweiterungen. Er wurde en passant bereits 1855 von Kummer bewiesen.^[1]

Es sei ${\displaystyle L/K}$ eine zyklische Galoiserweiterung und ${\displaystyle \sigma }$ ein Erzeuger der zugehörigen Galoisgruppe. Dann ist jedes ${\displaystyle y\in L^{\times }}$ mit Norm ${\displaystyle N_{L/K}(y)=1}$ von der Form

${\displaystyle y={\frac {\sigma x}{x}}}$

mit einem geeigneten ${\displaystyle x\in L^{\times }}$.

${\displaystyle E}$ ist ein Körper, ${\displaystyle E/F}$ eine galoissche Körpererweiterung und ${\displaystyle G={\text{Gal}}(E/F)}$. Dann folgt für die Galoiskohomologie:

${\displaystyle H^{1}(G,E^{\times })=0}$

Es sei ${\displaystyle X}$ ein Schema. Dann ist

${\displaystyle \mathrm {H} _{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{1}(X,\mathbb {G} _{\mathrm {m} })=\mathrm {Pic} \,X.}$

Anders ausgedrückt: Jedes étale-lokal triviale Geradenbündel ist bereits ein Zariski-Geradenbündel.

Die ursprüngliche Fassung verallgemeinert sich in der motivischen Kohomologie zur Exaktheit von

${\displaystyle \mathrm {H} ^{1}(Y,\mathbb {G} _{\mathrm {m} })\to ^{1-\sigma }H^{1}(Y,\mathbb {G} _{\mathrm {m} })\to ^{N_{X/Y}}H^{1}(X,\mathbb {G} _{\mathrm {m} })}$

für zyklische Galoisüberlagerungen ${\displaystyle Y/X}$ mit Erzeuger ${\displaystyle \sigma }$. Für das Spektrum eines Körpers erhält man die ursprüngliche Fassung zurück.

• David Hilbert: Die Theorie der algebraischen Zahlkörper. (PDF; 90 MB). In: Zahlbericht. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Bd. 4, S. 175–546, 1897, siehe S. 272.

Wikisource: Hilberts Satz 90. In: David Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, Erster Band – Quellen und Volltexte

1. ↑ Franz Lemmermeyer (2018): 120 Jahre Hilberts Zahlbericht. (PDF; 541 kB). Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 120 (1), 41–79, siehe S. 10.