In der Mathematik ist eine Hodge-Struktur eine algebraische Struktur, die die Hodge-Zerlegung der Kohomologie kompakter Kähler-Mannigfaltigkeiten verallgemeinert. Hodge-Strukturen haben vielfältige Anwendungen in komplexer und algebraischer Geometrie.
Definitionen
Eine Hodge-Zerlegung eines reellen Vektorraums
ist eine Zerlegung
![{\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\bigoplus _{p,q\in \mathbb {Z} ^{2}}V^{p,q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53600fc30b8d39df9df789b4f444f4f6818c5394)
mit
für alle
.
Eine Hodge-Struktur ist ein reeller Vektorraum zusammen mit einer Hodge-Zerlegung.
Eine reine Hodge-Struktur vom Gewicht
ist eine Hodge-Struktur mit
![{\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\bigoplus _{p+q=n}V^{p,q}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e9fd9eb742634003af8f25a0f98cf3aad02fe31)
Allgemein hat man für eine Hodge-Struktur eine Gewichtszerlegung
![{\displaystyle V=\bigoplus _{n}V_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09ec58708a1f0fd75572e1a39a26cc8abfed887)
mit
Eine ganze Hodge-Struktur (bzw. rationale Hodge-Struktur) ist ein endlich erzeugter freier
-Modul (bzw. ein endlich erzeugter
-Vektorraum)
mit einer Hodge-Zerlegung von
(bzw.
), so dass die Gewichtszerlegung über
definiert ist.
Beispiele
Hodge-Tate-Strukturen
Z(n)
ist die ganze Hodge-Struktur mit
-Modul
![{\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} \subset \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/823620e6f474cb01fb2534a4be26703842640370)
und
. Sie ist die einzige 1-dimensionale Hodge-Struktur vom Gewicht -2.
Mit
wird das
-fache Tensorprodukt
![{\displaystyle \mathbb {Z} (n):=\mathbb {Z} (1)\otimes \ldots \otimes \mathbb {Z} (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cffdb06f434e82a3c050a3744a8c799db08c9eeb)
bezeichnet.
Q(n)
ist die rationale Hodge-Struktur mit
-Vektorraum
![{\displaystyle 2\pi i\mathbb {Q} \subset \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6337be1da169a51e8d760e56ea25ca4b73c8fadd)
und
.
ist das
-fache Tensorprodukt
.
R(n)
ist die Hodge-Struktur mit
-Vektorraum
![{\displaystyle i\mathbb {R} \subset \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40fb595ed5731529b4eaf48d61654a2b84076335)
und
.
ist das
-fache Tensorprodukt
.
Hodge-Zerlegungs-Satz für Kähler-Mannigfaltigkeiten
Die Kohomologie einer kompakten Kähler-Mannigfaltigkeit
trägt eine Hodge-Struktur: nach dem Satz von Hodge kann man die
-te Kohomologie
mit dem Raum der harmonischen Differentialformen
identifizieren und es gilt
![{\displaystyle {\mathcal {H}}^{n}(M)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\bigoplus _{p+q=n}{\mathcal {H}}^{p,q}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e8ca6c9094dcaec8a369112c6d4efef2791fc90)
wobei
die harmonischen (p,q)-Formen bezeichnet. Es gilt
.
Hodge-Filtrierung
Zu einer reinen Hodge-Struktur vom Gewicht
bezeichnet man die Filtrierung
![{\displaystyle \ldots \supset F^{p}\supset F^{p+1}\supset \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b3c34977f6619689c0c5f03928022d3424ddf93)
mit
![{\displaystyle F^{p}=\bigoplus _{r\geq p}V^{r,s}\subset V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58fca35e6357f456c8feb58ef7086ee2e63ca0dc)
als zugehörige Hodge-Filtrierung.
Die Hodge-Filtrierung bestimmt die Hodge-Zerlegung durch
![{\displaystyle V^{p,q}=F^{p}\cap {\overline {F^{q}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/331b93edc6eed3f3dc0621b81cb59109407f3c97)
Die Existenz einer reinen Hodge-Zerlegung vom Gewicht
ist also äquivalent zur Existenz einer Filtrierung
von
mit
für hinreichend große
und
![{\displaystyle F^{p}\oplus {\overline {F^{q+1}}}=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067b840af850f33630f8e60cbe2f32f0e8aa68a8)
für alle
mit
.
Literatur
- Wells R. O.: Differential Analysis on Complex Manifolds (3rd ed.), Springer 2008, ISBN 978-0-387-73891-8.
- Carlson, James; Müller-Stach, Stefan; Peters, Chris: Period mappings and period domains. 2nd edition. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 168. Cambridge: Cambridge University Press (2017), ISBN 978-1-316-63956-6 (Paperback), 978-1-108-42262-8 (Hardback), 978-1-316-99584-6 (E-Book).