Inhomogene lineare Differentialgleichung

Eine inhomogene lineare Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung der Form

${\displaystyle y^{\prime }(x)=a(x)y(x)+b(x)}$

mit stetigen Funktionen ${\displaystyle a(x),b(x)}$, oder allgemeiner eine Differentialgleichung n. Ordnung der Form

${\displaystyle \textstyle y^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}(x)y^{(k)}(x)+b(x)}$

mit stetigen Funktionen ${\displaystyle a_{0}(x),\ldots ,a_{n-1}(x),b(x)}$. Die Funktion ${\displaystyle b(x)}$ wird als Inhomogenität der Differentialgleichung bezeichnet.

Inhomogene lineare Differentialgleichungen können mit der Methode der Variation der Konstanten gelöst werden:

Man bestimmt zunächst ein Fundamentalsystem ${\displaystyle y_{1}(x),\ldots ,y_{n}(x)}$ von ${\displaystyle n}$ Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung ${\displaystyle \textstyle y^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}(x)y^{(k)}(x)}$. (Im Fall 1. Ordnung ${\displaystyle y^{\prime }(x)=a(x)y(x)+b(x)}$ verwendet man nur eine Lösung der Gleichung ${\displaystyle y^{\prime }(x)=a(x)y(x)}$.)

Dann wählt man den Ansatz ${\displaystyle y(x)=\sum _{k=1}^{n}c_{k}(x)y_{k}(x)}$ und löst die sich ergebenden Differentialgleichungen für die Konstanten ${\displaystyle c_{1}(x),\ldots ,c_{n}(x)}$.

Wir betrachten die Differentialgleichung

${\displaystyle y^{\prime }(x)=xy(x)+xe^{\frac {x^{2}}{2}}}$.

Die zugehörige homogene Gleichung ${\displaystyle y^{\prime }(x)=xy(x)}$ hat die Lösungen ${\displaystyle y(x)=Ce^{\frac {x^{2}}{2}}}$.

Wir wählen deshalb den Ansatz

${\displaystyle y(x)=C(x)e^{\frac {x^{2}}{2}}}$,

woraus sich für ${\displaystyle C(x)}$ die Differentialgleichung

${\displaystyle C^{\prime }(x)=x}$

mit Lösung ${\displaystyle C(x)={\frac {1}{2}}x^{2}+D}$ ergibt. Die Lösungen der inhomogenen Gleichung sind also von der Form

${\displaystyle y(x)={\frac {1}{2}}x^{2}e^{\frac {x^{2}}{2}}+De^{\frac {x^{2}}{2}}}$.

Gegeben sei eine Differentialgleichung (DGL), wie sie z. B. für lineare zeitinvariante Systeme oder in der Zustandsraumdarstellung für dynamische Systeme Verwendung findet:

${\displaystyle x^{\prime }(t)=ax(t)+bu(t)}$

Die zugehörige homogene Differentialgleichung ${\displaystyle x^{\prime }(t)=ax(t)}$ hat folgende Lösung:

${\displaystyle x(t)=e^{a(t-t_{0})}x_{0}}$

Die Lösung der inhomogenen DGL erfolgt mit der Methode Variation der Konstanten. Dazu wird auf die Lösung der homogenen DGL aufgebaut. Die Lösungs-Konstante ${\displaystyle x_{0}}$ wird „variiert“ und im Folgenden C(t) genannt:

Lösungs Ansatz:

${\displaystyle x(t)=C(t)e^{a(t-t_{0})}}$

Ableitung mit Kettenregel:

${\displaystyle x^{\prime }(t)=C^{\prime }(t)e^{a(t-t_{0})}+C(t)ae^{a(t-t_{0})}}$

Beides eingesetzt in die ursprüngliche inhomogene DGL und durch Multiplikation mit ${\displaystyle e^{-a(t-t_{0})}}$nach ${\displaystyle C^{\prime }(t)}$ aufgelöst:

${\displaystyle C^{\prime }(t)e^{a(t-t_{0})}+C(t)ae^{a(t-t_{0})}=aC(t)e^{a(t-t_{0})}+bu(t)}$

${\displaystyle C^{\prime }(t)e^{a(t-t_{0})}=bu(t)}$

${\displaystyle C^{\prime }(t)=bu(t)e^{-a(t-t_{0})}}$

Beide Seiten dieser Gleichung werden integriert. Der linke Term ergibt sich aus der Überlegung, dass die Ableitung von ${\displaystyle C(t)-C(t_{0})}$ ja ${\displaystyle C^{\prime }(t)}$ ergibt:

${\displaystyle C(t)-C(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{-a(\tau -t_{0})}d\tau }$.

Auflösung nach ${\displaystyle C(t)}$ und Verwendung von ${\displaystyle C(t_{0})=x_{0}}$:

${\displaystyle C(t)=\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{-a(\tau -t_{0})}d\tau +C(t_{0})}$

${\displaystyle C(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{-a(\tau -t_{0})}d\tau }$

Eingesetzt in obigen Lösungs-Ansatz ${\displaystyle x(t)=C(t)e^{a(t-t_{0})}}$ergibt sich das Ergebnis nach einigen Umformungen:

${\displaystyle x(t)=(x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{-a(\tau -t_{0})}d\tau )\cdot e^{a(t-t_{0})}}$

${\displaystyle x(t)=e^{a(t-t_{0})}x_{0}+e^{a(t-t_{0})}\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{-a(\tau -t_{0})}d\tau }$

${\displaystyle x(t)=e^{a(t-t_{0})}x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{a(t-t_{0})}e^{-a(\tau -t_{0})}d\tau }$

${\displaystyle x(t)=e^{a(t-t_{0})}x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{at-at_{0}}e^{-a\tau +at_{0})}d\tau }$

Die Lösung für die inhomogene DGL der Zustandsraumdarstellung ergibt sich schließlich zu:

${\displaystyle x(t)=e^{a(t-t_{0})}x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{a(t-\tau )}d\tau }$

• Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 3. Auflage. Springer Verlag, 1986, ISBN 3-540-16143-0