In der Mathematik misst die innere Metrik oder Längenmetrik die Längen minimaler Verbindungswege zwischen Punkten.
Definition
Es sei
ein metrischer Raum. Die zu
assoziierte innere Metrik (oder Längenmetrik)
ist definiert als
![{\displaystyle d_{i}(x,y)=\inf L(\sigma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a8a926989ffbe0efb40ea77fd28942816c60d6a)
für
, wobei das Infimum über alle rektifizierbaren Kurven
mit
genommen wird und
die durch
![{\displaystyle L(\sigma )=\sup \left\{\left.\sum _{i=1}^{r}d{\big (}\sigma (t_{i-1}),\sigma (t_{i}){\big )}\,\right|\,0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{r}=1,r\in \mathbb {N} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b906866159026307989b8b877a6c896086adc9ff)
definierte Länge der Kurve
ist.
Geodätische metrische Räume
Ein metrischer Raum heißt geodätischer metrischer Raum (auch Längenraum oder innerer metrischer Raum), wenn
ist, also wenn die innere Metrik mit der Metrik
übereinstimmt.
Beispiele
- Es sei
eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und
die durch
![{\displaystyle d(x,y):=\inf\{L(\gamma )\mid \gamma \colon [0,1]\to M,\gamma (0)=x,\gamma (1)=y\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c50c1f9b3eb4c0ec768df26bfca5b501b2e6f810)
- für
definierte Metrik. Wenn
geodätisch vollständig ist, dann ist
. (Siehe Satz von Hopf-Rinow.)
- Es sei
,
für
und
. Die Einschränkung von
auf
definiert einen metrischen Raum
. Die assoziierte innere Metrik auf
ist
.
Literatur
- Bridson, Martin R.; Haefliger, André: Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 319. Springer-Verlag, Berlin, 1999. ISBN 3-540-64324-9
- A. Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 6, European Mathematical Society 2005, 2nd ed. 2014.
- Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volume I, 908 p., Springer International Publishing, 2018.
- Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volume II, 842 p., Springer International Publishing, 2018.
Weblinks