Integralkosinus

Der Integralkosinus ist eine Funktion, in deren Funktionsvorschrift ein Integral und die Kosinusfunktion auftreten. Diese Integralfunktion kann mit elementaren Methoden nicht ohne Integral dargestellt werden.

Der Integralkosinus ist definiert als:

${\displaystyle {\rm {Ci}}(x):=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt\quad =-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt}$

Dabei ist ${\displaystyle \gamma =0{,}577215...}$ die Euler-Mascheroni-Konstante.

• Das in der Definition auftretende Integral wird auch mit ${\displaystyle \operatorname {Cin} }$ bezeichnet:

${\displaystyle \operatorname {Cin} (x):=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt}$

mit der Beziehung:

${\displaystyle \operatorname {Cin} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Ci} (x)\,}$

• Analog zur Ableitung des Integralsinus Si(x):

${\displaystyle \operatorname {Si} '(x)={\frac {\sin x}{x}}}$

gilt:

${\displaystyle \operatorname {Ci} '(x)={\frac {\cos(x)}{x}}}$

• Analog der komplexen Eulerformel-Definition des Cosinus

${\displaystyle \cos x={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)}$

gilt mit der Integralexponentialfunktion ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$

${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {Ei} (\mathrm {i} \ x)+\operatorname {Ei} (-\mathrm {i} \ x)\right)}$

• Es lässt sich eine überall konvergente Reihe angeben:

${\displaystyle \operatorname {Ci} \left(x\right)=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}-\cdots \quad =\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!\cdot 2k}}}$

• Folgende unendliche Summe mit Integralkosinuswerten als Summanden ergibt diesen Wert:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {Ci} (2\pi n)={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{2}}\gamma }$

• Denn es gelten folgende Integrale:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x\exp(-wx)}{x^{2}+1}}dx={\frac {1}{2}}\pi \sin(w)-\operatorname {Si} (w)\sin(w)-\operatorname {Ci} (w)\cos(w)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x}{(x^{2}+1)[\exp(2\pi x)-1]}}dx={\frac {1}{2}}\gamma -{\frac {1}{4}}}$

Anmerkung: In verschiedenen Formelsammlungen wird der Integralkosinus mit umgekehrten Vorzeichen definiert.

Eng verwandt ist der Integralsinus ${\displaystyle \operatorname {Si} (x)}$, der zusammen mit dem Integralcosinus ${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)}$ in parametrischer Darstellung eine Klothoide bildet.

• Integralexponentialfunktion
• Integralsinus

• Eric W. Weisstein: Cosine Integral. In: MathWorld (englisch).