Irwin-Hall-Verteilung

Die Irwin-Hall-Verteilung, nach Joseph Oscar Irwin[1] und Philip Hall[2] benannt, ist die Verteilung der Summe von voneinander unabhängigen, im Intervall [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} gleichverteilten Zufallsvariablen.

Die Dichtefunktion der Irwin-Hall-Verteilung für n {\displaystyle n} Summanden ist

f n ( x ) = 1 2 ( n − 1 ) ! ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( x − k ) n − 1 sgn ⁡ ( x − k ) {\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{2(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(x-k)^{n-1}\operatorname {sgn}(x-k)} .

Tabelle der Verteilungsdichten

Diese Tabelle zeigt die Verteilungsdichten von Zufallsvariablen bei Summierung von einer bis sechs unabhängigen Zufallsvariablen, die gleichverteilt im Intervall [0, 1] sind. Sie haben den Namen Irwin-Hall-Verteilung.

Die Bilder zeigen, wie schnell sich die Gesamtverteilung von einer Rechtecks- in eine Glockenkurve ändert, selbst wenn man nur wenige Zufallsvariable summiert. Die Verteilung nähert sich immer mehr einer Normalverteilung. Dies besagt der zentrale Grenzwertsatz.

Verteilungsdichte Bild
f 1 ( x ) = { 0 x < 0 1 0 ≤ x ≤ 1 0 x > 1 {\displaystyle f_{1}(x)={\begin{cases}0&x<0\\1&0\leq x\leq 1\\0&x>1\end{cases}}}    
f 2 ( x ) = { 0 x < 0 x 0 ≤ x ≤ 1 2 − x 1 ≤ x ≤ 2 0 x > 2 {\displaystyle f_{2}(x)={\begin{cases}0&x<0\\x&0\leq x\leq 1\\2-x&1\leq x\leq 2\\0&x>2\end{cases}}}    
f 3 ( x ) = { 0 x < 0 x 2 2 0 ≤ x ≤ 1 − x 2 + 3 x − 3 2 1 ≤ x ≤ 2 ( 3 − x ) 2 2 2 ≤ x ≤ 3 0 x > 3 {\displaystyle f_{3}(x)={\begin{cases}0&x<0\\{\frac {x^{2}}{2}}&0\leq x\leq 1\\-x^{2}+3x-{\frac {3}{2}}&1\leq x\leq 2\\{\frac {(3-x)^{2}}{2}}&2\leq x\leq 3\\0&x>3\end{cases}}}    
f 4 ( x ) = { 0 x < 0 x 3 6 0 ≤ x ≤ 1 − x 3 2 + 2 x 2 − 2 x + 2 3 1 ≤ x ≤ 2 x 3 2 − 4 x 2 + 10 x − 22 3 2 ≤ x ≤ 3 ( 4 − x ) 3 6 3 ≤ x ≤ 4 0 x > 4 {\displaystyle f_{4}(x)={\begin{cases}0&x<0\\{\frac {x^{3}}{6}}&0\leq x\leq 1\\-{\frac {x^{3}}{2}}+2x^{2}-2x+{\frac {2}{3}}&1\leq x\leq 2\\{\frac {x^{3}}{2}}-4x^{2}+10x-{\frac {22}{3}}&2\leq x\leq 3\\{\frac {(4-x)^{3}}{6}}&3\leq x\leq 4\\0&x>4\end{cases}}}    
f 5 ( x ) = { 0 x < 0 x 4 24 0 ≤ x ≤ 1 − 5 + 20 x − 30 x 2 + 20 x 3 − 4 x 4 24 1 ≤ x ≤ 2 155 − 300 x + 210 x 2 − 60 x 3 + 6 x 4 24 2 ≤ x ≤ 3 − 655 + 780 x − 330 x 2 + 60 x 3 − 4 x 4 24 3 ≤ x ≤ 4 ( 5 − x ) 4 24 4 ≤ x ≤ 5 0 x > 5 {\displaystyle f_{5}(x)={\begin{cases}0&x<0\\{\frac {x^{4}}{24}}&0\leq x\leq 1\\{\frac {-5+20x-30x^{2}+20x^{3}-4x^{4}}{24}}&1\leq x\leq 2\\{\frac {155-300x+210x^{2}-60x^{3}+6x^{4}}{24}}&2\leq x\leq 3\\{\frac {-655+780x-330x^{2}+60x^{3}-4x^{4}}{24}}&3\leq x\leq 4\\{\frac {(5-x)^{4}}{24}}&4\leq x\leq 5\\0&x>5\end{cases}}}    
f 6 ( x ) = { 0 x < 0 x 5 120 0 ≤ x ≤ 1 6 − 30 x + 60 x 2 − 60 x 3 + 30 x 4 − 5 x 5 120 1 ≤ x ≤ 2 − 237 + 585 x − 570 x 2 + 270 x 3 − 60 x 4 + 5 x 5 60 2 ≤ x ≤ 3 2193 − 3465 x + 2130 x 2 − 630 x 3 + 90 x 4 − 5 x 5 60 3 ≤ x ≤ 4 − 10974 + 12270 x − 5340 x 2 + 1140 x 3 − 120 x 4 + 5 x 5 120 4 ≤ x ≤ 5 ( 6 − x ) 5 120 5 ≤ x ≤ 6 0 x > 6 {\displaystyle f_{6}(x)={\begin{cases}0&x<0\\{\frac {x^{5}}{120}}&0\leq x\leq 1\\{\frac {6-30x+60x^{2}-60x^{3}+30x^{4}-5x^{5}}{120}}&1\leq x\leq 2\\{\frac {-237+585x-570x^{2}+270x^{3}-60x^{4}+5x^{5}}{60}}&2\leq x\leq 3\\{\frac {2193-3465x+2130x^{2}-630x^{3}+90x^{4}-5x^{5}}{60}}&3\leq x\leq 4\\{\frac {-10974+12270x-5340x^{2}+1140x^{3}-120x^{4}+5x^{5}}{120}}&4\leq x\leq 5\\{\frac {(6-x)^{5}}{120}}&5\leq x\leq 6\\0&x>6\end{cases}}}    

Herleitung

Die Verteilungsdichte der Standardgleichverteilung ist

f 1 ( x ) = { 0 , wenn  x ≤ 0 1 , wenn  x ∈ ] 0 , 1 ] 0 , wenn  x > 1 . {\displaystyle f_{1}(x)={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}x\leq 0\\1,&{\text{wenn }}x\in \,]0,\,1]\\0,&{\text{wenn }}x>1{\text{.}}\\\end{cases}}}

Es sei

f k ( x ) = { 0 , wenn  x ≤ 0 f k , 1 ( x ) , wenn  x ∈ ] 0 , 1 ] ⋯ f k , j ( x ) , wenn  x ∈ ] j − 1 , j ] ⋯ f k , k ( x ) , wenn  x ∈ ] k − 1 , k ] 0 , wenn  x > k {\displaystyle f_{k}(x)={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}x\leq 0\\f_{k,\,1}(x),&{\text{wenn }}x\in \,]0,\,1]\\\cdots \\f_{k,\,j}(x),&{\text{wenn }}x\in \,]j-1,\,j]\\\cdots \\f_{k,\,k}(x),&{\text{wenn }}x\in \,]k-1,\,k]\\0,&{\text{wenn }}x>k\\\end{cases}}}

die Verteilungsdichte der Summe von k {\displaystyle k} standardgleichverteilten Zufallsvariablen.

Es bezeichnet also f k , j ( x ) {\displaystyle f_{k,\,j}(x)} die Verteilungsdichte der Summe von k {\displaystyle k} standardgleichverteilten Zufallsvariablen im halboffenen Intervall ] j − 1 , j ] {\displaystyle ]j-1,\,j]} .

Im Folgenden bezeichne Z k {\displaystyle Z_{k}\,} eine Zufallsvariable, die gemäß f k {\displaystyle f_{k}} verteilt ist. Gemäß der Faltung von Wahrscheinlichkeitsmaßen ergibt sich Folgendes: Für x ∈ ] j − 1 , j ] {\displaystyle x\in \,]j-1,j]} ist

f k + 1 , j ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f k ( t − x ) ⋅ f 1 ( x ) d x = ∫ 0 1 f k ( t − x ) ⋅ 1 d x Substitution:  y = t − x = ∫ t − 1 t f k ( y ) d y = ∫ t − 1 j − 1 f k , j − 1 ( y ) d y + ∫ j − 1 t f k , j ( y ) d y . {\displaystyle {\begin{aligned}f_{k+1,\,j}(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }f_{k}(t-x)\cdot f_{1}(x)\,dx\\&=\int _{0}^{1}f_{k}(t-x)\cdot 1\,dx&&{\text{Substitution: }}y=t-x\\&=\int _{t-1}^{t}f_{k}(y)\,dy\\&=\int _{t-1}^{j-1}f_{k,\,j-1}(y)\,dy+\int _{j-1}^{t}f_{k,\,j}(y)\,dy.\end{aligned}}}

Das heißt, der j {\displaystyle j} -te Zweig der Verteilungsdichte f k + 1 {\displaystyle f_{k+1}} ergibt sich aus den Integralen von zwei Zweigen von f k {\displaystyle f_{k}} .

Einzelnachweise

  1. ↑ Oscar Irwin: On the Frequency Distribution of the Means of Samples from a Population Having any Law of Frequency with Finite Moments, with Special Reference to Pearson's Type II. In: Biometrika. Band 19, Nr. 3/4, 1927, S. 225–239, doi:10.1093/biomet/19.3-4.225, JSTOR:2331960. 
  2. ↑ Philip Hall: The Distribution of Means for Samples of Size N Drawn from a Population in which the Variate Takes Values Between 0 and 1, All Such Values Being Equally Probable. In: Biometrika. Band 19, Nr. 3/4, 1927, S. 240–245, doi:10.1093/biomet/19.3-4.240, JSTOR:2331961.