Jones-Polynom
Das Jones-Polynom ist eine der wichtigsten Invarianten von Knoten und Verschlingungen, die in der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Topologie, untersucht wird. Es ist ein Laurent-Polynom in .
Es wurde 1984 von Vaughan F. R. Jones entdeckt, der unter anderem dafür 1990 die Fields-Medaille erhielt.
Definition durch Kauffman-Klammer
Sei eine Verschlingung. Das Kauffman-Klammerpolynom ist ein zu einem Diagramm von assoziiertes Laurent-Polynom in . Das normierte Kauffman-Polynom wird dann definiert durch die Formel , wobei die Verwringung von bezeichnet. ist invariant unter Reidemeister-Bewegungen und definiert deshalb eine Invariante von Verschlingungen. Das Jones-Polynom erhält man, indem man in substituiert.
Definition durch Zopfgruppendarstellungen
Sei eine Verschlingung. Nach einem Satz von Alexander ist der Abschluss eines Zopfes mit Komponenten. Eine Darstellung der Zopfgruppe in die Temperley–Lieb-Algebra mit Koeffizienten in und wird definiert, indem man den Erzeuger auf abbildet, wobei die Erzeuger der Temperley–Lieb-Algebra sind.
Sei der zu assoziierte Zopf. Berechne , wobei die Markov-Spur ist. Das gibt das Klammerpolynom , aus dem dann wie im vorhergehenden Abschnitt das Jones-Polynom berechnet werden kann.
Definition durch Skein-Relationen
Man kann das Jones-Polynom (eindeutig) dadurch charakterisieren, dass es dem trivialen Knoten den Wert 1 zuordnet und die folgende Skein-Relation erfüllt:
wobei , und orientierte Linkdiagramme sind, die sich innerhalb eines kleinen Gebietes wie im Bild unten unterscheiden und außerhalb dieses Gebietes identisch sind.
![Skein-Relationen](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Skein_%28HOMFLY%29.svg/200px-Skein_%28HOMFLY%29.svg.png)
Definition durch Chern-Simons-Theorie
Das Jones-Polynom kann nach Edward Witten mit einer topologischen Quantenfeldtheorie, der Chern-Simons-Theorie, definiert werden.[1]
Anwendungen
Kauffman, Murasugi und Thistlethwaite benutzten das Jones-Polynom, um eine der aus dem 19. Jahrhundert stammenden Tait-Vermutungen zu beweisen: Für einen alternierenden Knoten hat jedes reduzierte Diagramm die kleinstmögliche Kreuzungszahl.
Unterscheidbarkeit von Knoten mittels Jones-Polynom
Es ist eine offene Frage, ob der Unknoten der einzige Knoten mit trivialem Jones-Polynom ist. Es gibt jedenfalls unterschiedliche Knoten mit demselben Jones-Polynom, zum Beispiel haben Mutationen eines Knotens dasselbe Jones-Polynom.
Spezielle Werte
- Für einen Knoten ist , für eine Verschlingung mit Komponenten ist .
- Falls die Arf-Invariante definiert ist, ist .
- .
- Die Werte in Einheitswurzeln sind in der Chern-Simons-Theorie von Bedeutung.
Siehe auch
Literatur
- Vaughan F. R. Jones: A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras. In: Hyman Bass, Meyer Jerison, Calvin C. Moore (Hrsg.): Bulletin of the American Mathematical Society (New Series). Vol. 12, Nr. 1. American Mathematical Society, 1985, ISSN 0273-0979, S. 103–111, doi:10.1090/S0273-0979-1985-15304-2 (ams.org [PDF; abgerufen am 2. Dezember 2012]).
- Louis H. Kauffman: State models and the Jones polynomial. In: Topology. Vol. 26, Nr. 3. Elsevier, 1987, ISSN 0040-9383, S. 395–407, doi:10.1016/0040-9383(87)90009-7 (knot.kaist.ac.kr [PDF; abgerufen am 2. Dezember 2012]).
- Pierre de la Harpe, Michel Kervaire, Claude Weber: On the Jones polynomial. In: Enseign. Math. (2) 32 (1986), no. 3–4, S. 271–335.
- W. B. Raymond Lickorish: An introduction to knot theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 175). Springer, New York 1997, ISBN 0-387-98254-X.
Weblinks
- Edward Witten: Two Lectures on the Jones Polynomial and Khovanov Homology. (PDF; 619 kB)
- Alan Chang: On the Jones polynomial and its applications.
Einzelnachweise
- ↑ Witten, op.cit.