Konvexer Kern

In der Geometrie und Topologie spielt der konvexe Kern (engl. convex core, franz. âme convexe) eine wichtige Rolle vor allem in der Theorie hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten.

Es sei ${\displaystyle M}$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit oder ein CAT(0)-Raum. Der konvexe Kern ${\displaystyle C(M)}$ ist eine minimale nichtleere konvexe Teilmenge, für die die Inklusion ${\displaystyle C(M)\to M}$ eine Homotopieäquivalenz ist.

Für Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung kann man den konvexen Kern alternativ wie folgt definieren. Es sei ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ die universelle Überlagerung, also ${\displaystyle M=\Gamma \backslash {\widetilde {M}}}$ für eine diskrete Gruppe von Isometrien. Sei ${\displaystyle \Lambda (\Gamma )\in \partial _{\infty }{\widetilde {M}}}$ die Limesmenge von ${\displaystyle \Gamma }$ in der Sphäre im Unendlichen und ${\displaystyle C(\Lambda (\Gamma ))\subset {\widetilde {M}}}$ ihre konvexe Hülle. Dann ist

${\displaystyle C(M)=\Gamma \backslash C(\Lambda (\Gamma ))}$.

Die konvexe Hülle der Limesmenge ist also die universelle Überlagerung des konvexen Kerns.

Für jeden Punkt ${\displaystyle x\in {\widetilde {M}}}$ gibt es einen eindeutigen Punkt ${\displaystyle r(x)\in C(\Lambda (\Gamma ))}$ mit

${\displaystyle d(x,r(x))=\min \left\{d(x,y):y\in C(\Lambda (\Gamma ))\right\}}$.

Die so definierte Abbildung ${\displaystyle r\colon {\widetilde {M}}\to C(\Lambda (\Gamma ))}$ lässt sich zu einer stetigen Abbildung ${\displaystyle r\colon {\widetilde {M}}\cup \Omega (\Gamma )\to C(\Lambda (\Gamma ))}$ fortsetzen.

Der Rand des konvexen Kerns ist im Allgemeinen keine glatte Mannigfaltigkeit. Im Falle hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten wird der Rand des konvexen Kerns als gefaltete Fläche (engl.: pleated surface) bezeichnet. Man betrachtet deshalb oft eine ${\displaystyle \delta }$-Umgebung des konvexen Kernes für ein (beliebiges) ${\displaystyle \delta >0}$. Der Rand der ${\displaystyle \delta }$-Umgebung ist eine glatte Mannigfaltigkeit.

Die Inklusion der ${\displaystyle \delta }$-Umgebung in ${\displaystyle M}$ ist ein Deformationsretrakt.

Im Fall hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten ist die ${\displaystyle \delta }$-Umgebung des konvexen Kerns homöomorph zur Kleinschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle \Gamma \backslash (H^{3}\cup \Omega (\Gamma ))}$, wobei ${\displaystyle \Omega (\Gamma )}$ den Diskontinuitätsbereich für die Wirkung von ${\displaystyle \Gamma }$ auf der Sphäre im Unendlichen bezeichnet. Insbesondere ist in diesem Fall der Rand des konvexen Kerns homöomorph zu ${\displaystyle \Gamma \backslash \Omega (\Gamma )}$.

Eine diskrete Gruppe ${\displaystyle \Gamma }$ von Isometrien eines CAT(0)-Raumes ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ (zum Beispiel des hyperbolischen Raumes ${\displaystyle H^{n}}$) heißt konvex-kokompakt, wenn der konvexe Kern von ${\displaystyle M=\Gamma \backslash {\widetilde {M}}}$ kompakt ist. Sie heißt geometrisch endlich, wenn eine (also jede) ${\displaystyle \delta }$-Umgebung des konvexen Kernes endliches Volumen hat.

• William P. Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds online
• Matsuzaki, Katsuhiko; Taniguchi, Masahiko: Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998, ISBN 0-19-850062-9
• Canary, R. D.; Epstein, D. B. A.; Green, P. L.: Notes on notes of Thurston. With a new foreword by Canary. London Math. Soc. Lecture Note Ser., 328, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006.
• Epstein, D. B. A.; Marden, A.: Convex hulls in hyperbolic space, a theorem of Sullivan, and measured pleated surfaces. Fundamentals of hyperbolic geometry: selected expositions, 117–266, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 328, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006.
• Bridgeman, Martin; Canary, Richard D.: The Thurston metric on hyperbolic domains and boundaries of convex hulls. Geom. Funct. Anal. 20 (2010), no. 6, 1317–1353. pdf